無理数の集合の完備な距離の例とか
・の完備な距離
とか。
・の完備でない距離
とか。はコーシー列。
・の完備な距離
とか。はコーシー列でない。
・の完備な距離
存在しない。あったとすればベールの範疇定理(リンクはWiki)からは第二類。一方は可算、一点集合は全疎だから即ちは第一類。これは矛盾。
・無理数の集合の完備な距離
を整列してとして、
距離になっていることは明らか。
位相が合致していること。任意にと正の数をとり、となる自然数をとる。は連続ゆえ、あるがあって、
あとはとおけば、。
完備性。この距離でコーシー列なら普通の距離でもコーシー列ゆえでは収束、従って有理数に収束する無理数の点列がこの距離でコーシー列とならないことを示せば良いがこれはほぼ明らか。
が有理数に収束する無理数列とし、なる自然数をとれば、について
だから各に対して大きいをとれば。