Čech完備の話 - yujitomoのブログ

ツイッターで話題になっていたので、定義や簡単な性質や面白い話題（完備距離化可能性）などをまとめようと思います。

これから考える空間はすべて完全正則ハウスドルフです。

※あとで前提知識のところを補う記事を書きます。

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《前提知識》

（１）完全正則空間 ${X}$ からコンパクトハウスドルフ空間 ${Y}$ への任意の連続写像 ${f:X\to Y}$ がStone-Čechコンパクト化上の連続写像 ${\beta f :\beta X \to Y}$ に一意に拡張されます。また、任意のコンパクト化 ${\alpha X}$ に対し、 ${X}$ の点を動かさない連続写像 ${f:\beta X\to \alpha X}$ があります。この写像を射影と言います。 ${f:\beta X\to \alpha X}$ が射影のとき、 ${f(\beta X \setminus X ) = \alpha X \setminus X}$ となることが知られています。Stone-Čechコンパクト化についてはこちらが参考になると思います→

（２）距離空間は全体正規です。これに関してはこちらの記事のpdfに書いてあります→パラコンパクト

（３）Alexandroff-Uryshonの距離化定理を軽く使います。正規列を成す展開列を持つ空間は距離化可能というものです。位相空間 ${X}$ の正規列とは、開被覆の列 ${\mathcal{U}_n}$ であって、各 ${n}$ について星形集合 ${\mathcal{U}_{n+1}^{\Delta} = \{ \mathrm{St}(x, \mathcal{U}_{n+1} ) : x\in X \} }$ （ただし、 ${\mathrm{St}(x, \mathcal{U}_{n+1} ) = \bigcup\{ U : x\in U\in \mathcal{U}_{n+1} \} }$ ）が ${\mathcal{U}_n}$ を細分するようなものです。展開列とは、開被覆の列 ${\mathcal{U}_n}$ であって ${\{ \mathrm{St}( x,\mathcal{U}_n ) : n \in \mathbb{N} \} }$ が各 ${x}$ の基本近傍系を成すものです。意識さんのブログのこの記事が参考になると思います→距離化可能定理part1:Alexandroff-Urysohn-Tukey

（４）正規列に対して、その正規列をある意味測るような擬距離が定義されます。詳しく述べると次のようになります：空間 ${X}$ の正規列 ${\mathcal{U}_n , }$ に対し、 ${X}$ 上の擬距離 ${d}$ であって、 ${\mathcal{U}_{2(n+1)}^\Delta \lt \{ S_d(x,2^{-n} ) : n\in \mathbb{N} \} \lt \mathcal{U}_{2n}^\Delta }$ となるものがある。ここで ${S_d(x:2^{-n} )=\{ y \in X: d(x,y) \lt 2^{-n} \} }$ はこの擬距離での開球。これに関してはこちらが参考になると思います→一様空間１ - yujitomoのブログ

（５）集合 ${X}$ の有限交叉性を持つ空でない部分集合の族 ${\mathcal{F}}$ を ${\mathcal{F}}$ をフィルターベースと言い、フィルターベースがさらに ${A\in \mathcal{F} , A\subset B \Rightarrow B\in \mathcal{F}}$ と ${A,B\in \mathcal{F} \Rightarrow A\cap B\in \mathcal{F} }$ を満たすときにフィルターと言います。フィルター全体には包含関係で順序が入り、Zornの補題から極大フィルターの存在を知ります。また、フィルターベースは自然に極大フィルターを生成します。極大フィルターは任意の部分集合 ${A}$ について ${A}$ か ${A}$ の補集合の一方を含みます。

例えば位相空間である点の近傍系などはフィルターです（近傍フィルターと言います）。位相空間のフィルター ${\mathcal{F}}$ がある点 ${x}$ の近傍系を部分集合に含むとき、フィルター ${\mathcal{F}}$ は ${x}$ に収束すると言います。容易に分かることですが、コンパクト空間であることと任意の極大フィルターが収束することは同値です。

${ \bigcap \overline{\mathcal{F}} = \bigcap \{ \overline{F} : F\in \mathcal{F} \} }$ の点をフィルター ${\mathcal{F}}$ の触点と言い、これが空でないときにフィルターは触点を持つと言います。容易にわかることですが、ハウスドルフ空間の近傍フィルターの触点は一点集合からなります。

これだけの前提知識を仮定しておけば一応読めると思います。一様空間の完備性に関してコーシーフィルターの話がありますが、今回はその知識は必要ないでしょう。フィルターは結構使います。

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【定義１】

・完全正則空間 ${X}$ について、 ${X}$ がStone-Čechコンパクト化 ${\beta X}$ の中でGδ集合となるとき、Čech完備（Čech-Complete）であると言う。

・完全正則空間 ${X}$ は、任意の拡張空間（ ${X}$ を稠密部分集合として含む空間） ${Y}$ の中でGδ集合であるとき、絶対Gδ（absolute Gδ）であると言う。■

例えば、これは手頃な演習問題ですが、局所コンパクトであれば任意の拡張空間の中で開なので絶対GδでありČech完備となります。

次の命題は、これからの話の中で中心的役割を果たす命題です：

【命題１】

完全正則空間 ${X}$ について、次はすべて同値：

（１） ${X}$ はČech完備。

（２） ${X}$ はあるコンパクト化の中でGδ。

（３） ${X}$ は任意のコンパクト化の中でGδ。

（４） ${X}$ は絶対Gδ。

（５）次を満たす開被覆の列 ${\mathcal{U}_n}$ がある： ${\forall n \in \mathbb{N} , \mathcal{U}_n \cap \mathcal{F} \neq \emptyset }$ となるフィルター ${\mathcal{F}}$ は触点を持つ。

（証明）

（４）⇒（３）、（３）⇒（２）は自明。（２）⇒（１）は、あるコンパクト化 ${\alpha X}$ でGδであるとき、射影 ${f:\beta X \to \alpha X}$ で引き戻すことを考えれば ${\beta X}$ でもGδとなることがわかるのでほぼ自明。

（１）⇒（５）

${X}$ は ${\beta X}$ でGδなので、 ${\beta X}$ の可算個の開集合 ${W_n}$ があって ${X=\bigcap_n W_n }$ と書ける。

各点 ${x\in X}$ に対して ${x\in W_n(x) \subset \mathrm{Cl}_{\beta X}(W_n(x)) \subset W_n}$ となる ${W(x)}$ をとり、 ${\mathcal{U}_n =\{ U_n(x) : x\in X \} , U_n(x)=W_n(x)\cap X }$ と置く。この ${\mathcal{U}_n}$ が条件を満たすことを言えば良い。

${\mathcal{F}}$ を（５）の条件を満たすフィルターとすると、有限交叉性から ${y\in \bigcap\mathrm{Cl}_{\beta X}\mathcal{F} }$ が取れる（ ${\beta X}$ はコンパクト）。ここで ${\mathcal{F}}$ は（５）の条件を満たすから、任意の ${n}$ に対してある ${x}$ があって ${y\in \mathrm{Cl}_{\beta X}(U_n(x))}$ となるが、 ${ \mathrm{Cl}_{\beta X}(U_n(x)) \subset W_n }$ であるから、 ${y\in \bigcap_n W_n =X}$ がわかる。従って ${y\in \bigcap \mathrm{Cl}_{\beta X}\mathcal{F} \cap X = \mathrm{Cl}_X\mathcal{F} }$ 、つまり ${y}$ は $\mathcal{F}$ の触点となる。

（５）⇒（４）

${Y}$ を ${X}$ の拡張空間とする。（５）の条件を満たす開被覆の列 ${\mathcal{U}_n}$ をとり、各 ${U\in \mathcal{U}_n}$ に対して ${Y}$ の開集合 ${U'}$ を ${U=U'\cap X}$ となるようとる。 ${Y}$ の開集合の列を ${W_n=\bigcup \{ U' : U\in \mathcal{U}_n \} }$ で定める。

${\bigcap_n W_n \subset X}$ を示せば良いから、 ${y\in \bigcap_n W_n \setminus X}$ をとる。 ${y}$ の近傍フィルターを ${\mathcal{V} }$ とすれば、 ${\mathcal{V}\cap X = \{ V\cap X : V\in \mathcal{V} \} }$ は（５）の条件を満たすので触点 ${z \in \bigcap \mathrm{Cl}_X ( \mathcal{V}\cap X) }$ がある。ここで ${\bigcap \mathrm{Cl}_X ( \mathcal{V}\cap X) \subset \bigcap \mathcal{Cl}_{\beta X} \mathcal{V} }$ であるから ${z}$ は近傍フィルター ${\mathcal{V} }$ の ${\beta X}$ での触点となるが、先に述べた通りハウスドルフ空間の近傍フィルターの触点は一点に限るから ${z=y}$ となる。これは ${z\in X , y\not\in X}$ に反する。□

この命題の（１）⇔（５）と前提知識（３）を合わせて使うことで、完備距離化可能性などの興味深い性質を導くことができます。

Čech完備空間の基本的な性質については次が知られています：

【命題２】

（１）Čech完備空間の閉集合はまたČech完備。

（２）Čech完備空間のGδ集合はまたČech完備。特に開集合はČech完備。

（３）Čech完備空間可算個の積空間はまたČech完備。

（証明）

（１）と（２）は同時に示せる。 ${F}$ をČech完備空間 ${X}$ の閉またはGδ集合とする。命題１（１）⇔（２）から、 ${\mathrm{Cl}_{\beta X}(F) }$ で ${F}$ がGδとなることを示せば良い。 ${X}$ はČech完備であるから、 ${\beta X}$ の可算個の開集合 ${W_n}$ で ${X=\bigcap_n W_n}$ となる。

${F}$ が閉なら、 ${F=X\cap \mathrm{Cl}_{\beta X}(F)}$ なので ${F=\bigcap_n (W_n \cap \mathrm{Cl}_{\beta X} (F) ) }$ となる。

${F}$ がGδなら ${F=\bigcap_n V_n}$ なる ${X}$ の開集合 ${V_n}$ をとって ${V_n=U_n\cap X}$ となる ${\beta X}$ の開集合 ${U_n}$ をとれば、 ${F=\bigcap_n ( U_n\cap W_n \cap \mathrm{Cl}_{\beta X} (F) }$ となる。

以上より閉、Gδのどちらの場合でも ${\mathrm{Cl}_{\beta X}(F)}$ でGδとなることが示された。

（３）は容易。 ${X_n}$ をČech完備空間の可算族とすれば、 ${\prod_n X_n}$ は ${\prod_n \beta X_n}$ でGδなので命題１（１）⇔（２）により示された。◻︎

さて、次は今回のメインテーマであるところの、完備性です。

【完備距離化可能性】

距離空間 ${X}$ について、次は同値：

（１） ${X}$ は完備距離化可能。つまり ${X}$ にはもとの距離以外に、位相の合致する完備な距離が存在する。

（２） ${X}$ はČech完備。

（３） ${X}$ はそれを含む任意の距離空間でGδ。

（証明）

（１）⇒（２）は命題１（１）⇔（５）を使う。 ${d}$ を完備な距離として ${\mathcal{U}_n = \{ S_d(x, 1/2^n ) : x \in X \} }$ が完備性から命題（５）の条件を満たすことを見る。 ${\mathcal{F}}$ を命題（５）の条件を満たすフィルターとすれば、各 ${n}$ についてある ${x_n\in X}$ があって ${S_d(x_n :1/2^n ) \in \mathcal{F} }$ となるがこのとき ${(x_n)}$ はコーシー列となって極限点はこのフィルターの触点である。以上で示された。

（２）⇒（３）は命題１（１）⇔（４）から明らか。（３）⇒（２）を示すために ${X}$ の完備化 ${X^*}$ をとれば、この定理の（１）⇒（２）より ${X^*}$ はČech完備なので命題２（２）から ${X}$ もČech完備となる。従ってあとは（２）⇒（１）が示せれば良い。

（２）⇒（１）。

まず命題１（５）の条件を満たす開被覆の列 ${\mathcal{W}_n}$ をとる。前提知識（２）から距離空間は全体正規なので、正規列となる展開列 ${\mathcal{U}_n}$ により ${\mathcal{U}_n^{\Delta} \lt \mathcal{W}_n }$ の形でそれぞれ細分できる。この正規列に対して前提知識（３）を満たす擬距離 ${d}$ をとれば、展開列をなすことからこれは ${X}$ の位相に合致する距離となる（前提知識（４）Alexandroff-Urysohnの距離化定理）。これが完備な距離であることを示そう。命題１（５）の条件を使う。

コーシー列 ${(x_n)}$ を任意にとれば、各 ${n}$ に対してある ${i_n}$ があって ${j \geq i_n \Rightarrow d(x_j ,x_{i_n} ) \lt 2^{-(n+1)} }$ となり、このとき ${x_j\in \mathrm{St}( x_{i_n}, \mathcal{U}_{2n} ) }$ である。従って ${V_n = \mathrm{St}( x_{i_n}, \mathcal{U}_{2n} ) }$ とおけば ${\{ V_n \} }$ はフィルターベースであり、これが生成するフィルター ${\mathcal{F}}$ は ${\mathcal{U}_{2n}^{\Delta} \lt \mathcal{U}_{n}^{\Delta} \lt \mathcal{W}_{n} }$ から命題１（５）の条件を満たす。したがって触点 ${x}$ を持つがこれは明らかに ${x_n}$ の収束先である。◻︎

完備距離空間に対してはベールの範疇定理が知られていますが、これは局所コンパクト空間でも成立するものでした。Čech完備空間はある意味で完備距離空間と局所コンパクト空間を包括する概念ですから、Čech完備空間に対して似た定理が成立することが予想されます。これについて述べてこの記事は終わりにします。

【定義】

${X}$ を位相空間、 ${A}$ をその部分集合とする。

・ ${A}$ の閉包に内点がないとき、 ${A}$ を全疎（nowhere dense）という。つまり ${\mathrm{Int}(\mathrm{Cl}(A)) = \emptyset }$ のときに ${A}$ を全疎という。

・ ${A}$ が全疎集合の可算和となるとき、第１類（first category）集合という。

・第１類でない集合を第２類（second category）という。

・任意の空でない開集合が第２類である空間はベールの性質（Baire property）を持つといわれる。■

【定理４】

Čech完備空間はベールの性質を持つ。

（証明）

Čech完備空間の開部分集合はČech完備であるからČech完備空間それ自身が第２類であることを言えば良い。

全疎な閉集合可算個で ${X=\bigcup_n F_n}$ となっていたとする。 ${X=\bigcap_n U_n}$ となる ${\beta X}$ の可算個の開集合 ${U_n}$ をとる。 ${\mathrm{Cl}_{\beta X}(F_0) }$ はもし全疎でなければ ${\mathrm{Int}_{\beta X}\mathrm{Cl}_{\beta X}(F_0) \cap X}$ が ${F_0}$ の内点になるから、 ${\mathrm{Cl}_{\beta X}(F_0)}$ は全疎。

従って点 ${x_0 \in U_0 \setminus \mathrm{Cl}_{\beta X}(F_0) }$ が取れる。このとき ${ x_0\in W_0 \subset \mathrm{Cl}_{\beta X}(W_0 )\subset U_0 \setminus \mathrm{Cl}_{\beta X}(F_0) }$ となる開集合 ${W_0}$ が取れる。

次に、点 ${x_n}$ と空でない開集合 ${x_n\in W_n}$ がとれていたとき、同様にして点 ${x_{n+1}\in U_n\cap W_n \setminus \mathrm{Cl}_{\beta X}(F_{n+1}) }$ と開集合 ${x_{n+1}\in W_{n+1} \subset \mathrm{Cl}_{\beta X}(W_{n+1} ) \subset U_n\cap W_n \setminus \mathrm{Cl}_{\beta X}(F_{n+1}) }$ が取れる。

さて、 ${F=\bigcap_n W_n = \bigcap_n \mathrm{Cl}_{\beta X}(W_n) }$ と置く。 ${\{ W_n \} }$ は単調減少に構成しているのでこれは有限交叉性を持って ${F}$ は空でない（ ${\beta X}$ はコンパクト）。また ${ W_n \subset U_n }$ であるから ${F\subset X}$ 。一方で ${W_n \cap \mathrm{Cl}_{\beta X}(F_n)= \emptyset }$ であるから ${ F\cap \bigcup_n \mathrm{Cl}_{\beta X}(F_n) =\emptyset }$ 。これは仮定 ${X=\bigcup_n \mathrm{Cl}_{\beta X}(F_n)}$ に反する。□