Hewitt-Marczewski-Pondiczeryの定理

の証明を書こうと思います。読み方は、ヒューイット=マルツェフスキ=ポンディツェリ。

 

 

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【定義】

位相空間{X}に対し、稠密部分集合の濃度の最小値を{d(X)}と書き、{X}稠密度という。

 

【定理:Hewitt-Marczewski-Pondiczeryの定理】

{X_a,a\in A}を、2点以上を有するハウスドルフ空間とし、各{a\in A}について{d(X_a) \leq \mathfrak{m}}であるとする。積空間{X=\prod \{ X_a : a\in A\} }について、{ d(X) \leq \mathfrak{m}}となるための必要十分条件{|A|\leq 2^\mathfrak{m}}である。

(証明)

必要性を示す。

{X_a}から二点{p_a,q_a}をとり、開集合{U_a}{p_a \in U_a \subset \overline{U_a} \subset X_a \setminus \{ q_a \} }となるようにとる。{\pi _a : X \to X_a}を射影とし、{P}{X}の稠密部分集合で{|P|\leq \mathfrak{m}}とする。

{a}について{f_a:P\to \{ 0,1\} }を、{f_a (p)=1 ( \pi _a (p) \in U_a ) , 0 (\pi _a (p) \in X_a\setminus U_a) }で定めると、対応{a\mapsto f_a }単射であるから、これにより{|A|\leq |2^P| = 2^\mathfrak{m}}がわかる。

十分性を示す。

{X_a}はすべて濃度{\mathfrak{m}}の離散集合、{A}を濃度{2^\mathfrak{m}}として、つまり{A=\{ 0,1\} ^\mathfrak{m}}として示せば十分。従って{X}{A}から濃度{\mathfrak{m}}の離散集合への写像全体に積位相を与えた空間と考える。{A}は二点の離散空間に積位相を与えた空間とし、{Y}を濃度{\mathfrak{m}}の離散空間とする。{\mathcal{U}}{A}の濃度{\mathfrak{m}}の開基として、{\mathcal{U}'}により{\mathcal{U}}の素な(どの2つも交わらない)有限個の開集合の族全体の集合を表すとする。{|\mathcal{U}'|=\mathfrak{m}}である。

一点{x_0 \in Y}を固定する。ある{\{ U_1,\cdots ,U_n \} \in \mathcal{U}'}に対して、各{U_i}上で定数であり、{z\in A\setminus \displaystyle \bigcup_{i=1}^n U_i}のとき{f(z)=x_0}となるような写像{f:A\to Y}の集合を{P}と置く。{|\mathcal{U}'|=\mathfrak{m}}であって{|Y|=\mathfrak{m}}であるから{|P|=\mathfrak{m}\mathfrak{m}=\mathfrak{m}}である。この{P}{X}で稠密であることを示せば良い。

{(x_a ) \in X}を任意に取る。相異なる{a_1,\cdots ,a_n \in A}をとれば、{A}はハウスドルフであって{\mathcal{U}}{A}の開基であるから{a_i \in U_i }となる{ \{ U_i \} \in \mathcal{U}'}がある。{f:A \to Y}{f(z)=x_{a_i} ( z\in U_i ) i=1,\cdots ,n , x_0 (z \not\in\displaystyle\bigcup_{i=1}^n U_i )}と定めると{f \in P}であるから、

 { f \in P \cap \{ ( x'_a) \in X : x'_{a_i}=x_{a_i}, i=1,2,...,n \} \neq \emptyset}

従って{(x_a) \in \overline{P}}となって{P}{X}で稠密。◻︎

 

 

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これ可分のときは上の{A}を実数だと思って示すんですよね。そのときは\mathcal{U}に相当するものを端が有理数の開区間として取ってくるのですが、実数であるということを考慮してこの辺をもう少し簡単にできます。

添え字集合に位相を入れて示すこの手法は面白いですよね。ゾクゾクしますね。ひゅおー 

 

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昨日ですべての試験が終了したので春休みになります。春休み中は一つだけ自主ゼミをします。

(数学の)試験を振り返ると、まあ全部思ったより簡単だったから拍子抜けしたという感じですかね。おしまい。

 

 

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おなかすいたぽよぽよ

 

 

 

【参考文献】

日本数学会『数学辞典 第4版』岩波書店 2007

・児玉之宏、永見啓応『位相空間論』岩波書店 1972

・J.Nagata , Modern General Topology , Second revised edition , North Holland , 1985

 

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