Hewitt-Marczewski-Pondiczeryの定理

の証明を書こうと思います。読み方は、ヒューイット=マルツェフスキ=ポンディツェリ。

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【定義】

位相空間 ${X}$ に対し、稠密部分集合の濃度の最小値を ${d(X)}$ と書き、 ${X}$ の稠密度という。

【定理：Hewitt-Marczewski-Pondiczeryの定理】

${X_a,a\in A}$ を、２点以上を有するハウスドルフ空間とし、各 ${a\in A}$ について ${d(X_a) \leq \mathfrak{m}}$ であるとする。積空間 ${X=\prod \{ X_a : a\in A\} }$ について、 ${ d(X) \leq \mathfrak{m}}$ となるための必要十分条件は ${|A|\leq 2^\mathfrak{m}}$ である。

（証明）

必要性を示す。

${X_a}$ から二点 ${p_a,q_a}$ をとり、開集合 ${U_a}$ を ${p_a \in U_a \subset \overline{U_a} \subset X_a \setminus \{ q_a \} }$ となるようにとる。 ${\pi _a : X \to X_a}$ を射影とし、 ${P}$ を ${X}$ の稠密部分集合で ${|P|\leq \mathfrak{m}}$ とする。

各 ${a}$ について ${f_a:P\to \{ 0,1\} }$ を、 ${f_a (p)=1 ( \pi _a (p) \in U_a ) , 0 (\pi _a (p) \in X_a\setminus U_a) }$ で定めると、対応 ${a\mapsto f_a }$ は単射であるから、これにより ${|A|\leq |2^P| = 2^\mathfrak{m}}$ がわかる。

十分性を示す。

${X_a}$ はすべて濃度 ${\mathfrak{m}}$ の離散集合、 ${A}$ を濃度 ${2^\mathfrak{m}}$ として、つまり ${A=\{ 0,1\} ^\mathfrak{m}}$ として示せば十分。 ${X}$ は ${A}$ から濃度 ${\mathfrak{m}}$ の離散集合への写像全体に積位相を与えた空間と考える。 ${A}$ は二点の離散空間に積位相を与えた空間とし、 ${Y}$ を濃度 ${\mathfrak{m}}$ の離散空間とする。 ${\mathcal{U}}$ を ${A}$ の濃度 ${\mathfrak{m}}$ の開基として、 ${\mathcal{U}'}$ により ${\mathcal{U}}$ の素な（どの２つも交わらない）有限個の開集合の族全体の集合を表すとする。 ${|\mathcal{U}'|=\mathfrak{m}}$ である。

一点 ${x_0 \in Y}$ を固定する。ある ${\{ U_1,\cdots ,U_n \} \in \mathcal{U}'}$ に対して、各 ${U_i}$ 上で定数であり、 ${z\in A\setminus \displaystyle \bigcup_{i=1}^n U_i}$ のとき ${f(z)=x_0}$ となるような写像 ${f:A\to Y}$ の集合を ${P}$ と置く。 ${|\mathcal{U}'|=\mathfrak{m}}$ であって ${|Y|=\mathfrak{m}}$ であるから ${|P|=\mathfrak{m}\mathfrak{m}=\mathfrak{m}}$ である。この ${P}$ が ${X}$ で稠密であることを示せば良い。

${(x_a ) \in X}$ を任意に取る。相異なる ${a_1,\cdots ,a_n \in A}$ をとれば、 ${A}$ はハウスドルフであって ${\mathcal{U}}$ は ${A}$ の開基であるから ${a_i \in U_i }$ となる ${ \{ U_i \} \in \mathcal{U}'}$ がある。 ${f:A \to Y}$ を ${f(z)=x_{a_i} ( z\in U_i ) i=1,\cdots ,n , x_0 (z \not\in\displaystyle\bigcup_{i=1}^n U_i )}$ と定めると ${f \in P}$ であるから、