無理数の集合の完備な距離の例とか

・ ${(0,1)}$ の完備な距離

　 ${d(x,y)=\left| \displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{y-1}\right|}$

とか。

・ ${\mathbb{R}}$ の完備でない距離

　 ${d(x,y)=|e^x-e^y|}$

とか。 ${x_n=-n}$ はコーシー列。

・ ${(0,\infty )}$ の完備な距離

　 ${d(x,y)=\left| \displaystyle \log \frac{x}{y} \right| }$

とか。 ${x_n=1/n}$ はコーシー列でない。

・ ${\mathbb{Q}}$ の完備な距離

存在しない。あったとすればベールの範疇定理（リンクはWiki）から ${\mathbb{Q}}$ は第二類。一方 ${\mathbb{Q}}$ は可算、一点集合は全疎だから即ち ${\mathbb{Q}}$ は第一類。これは矛盾。

・無理数の集合 ${\mathbb{P}=\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}$ の完備な距離

${\mathbb{Q}}$ を整列して ${\{ q_n : n \in \mathbb{N}\}}$ として、

${d(x,y)=|x-y|+ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}\min \{ 1 , \left| \max_{i\leq n} \frac{1}{|x-q_i|}-\max_{i\leq n} \frac{1}{|y-q_i|} \right| \} }$

距離になっていることは明らか。

位相が合致していること。任意に ${x\in \mathbb{P} }$ と正の数 ${\varepsilon }$ をとり、 $\sum_{n=k}^\infty \frac{1}{2^n} \lt \displaystyle \frac{\varepsilon }{3}$ となる自然数 ${k}$ をとる。 $\sum_{n=1}^k \frac{1}{2^n}\min \{ 1 , \left| \max_{i\leq n} \frac{1}{|x-q_i|}-\max_{i\leq n} \frac{1}{|y-q_i|} \right| \}$ は連続ゆえ、ある ${\delta '}$ があって、

${|x-y| \lt \delta ' \Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^k \frac{1}{2^n}\min \{ 1 , \left| \max_{i\leq n} \frac{1}{|x-q_i|}-\max_{i\leq n} \frac{1}{|y-q_i|} \right| \} \lt \frac{\varepsilon }{3} }$