無理数の集合の完備な距離の例とか

{(0,1)}の完備な距離

 {d(x,y)=\left| \displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{y-1}\right|}

とか。

 

 

{\mathbb{R}}の完備でない距離

 {d(x,y)=|e^x-e^y|}

とか。{x_n=-n}はコーシー列。

 

 

{(0,\infty )}の完備な距離

 {d(x,y)=\left| \displaystyle \log \frac{x}{y} \right| }

とか。{x_n=1/n}はコーシー列でない。

 

 

 ・{\mathbb{Q}}の完備な距離

存在しない。あったとすればベールの範疇定理(リンクはWiki)から{\mathbb{Q}}は第二類。一方{\mathbb{Q}}は可算、一点集合は全疎だから即ち{\mathbb{Q}}は第一類。これは矛盾。

 

 

無理数の集合{\mathbb{P}=\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}の完備な距離

{\mathbb{Q}}を整列して{\{ q_n : n \in \mathbb{N}\}}として、

{d(x,y)=|x-y|+ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}\min \{ 1 , \left| \max_{i\leq n} \frac{1}{|x-q_i|}-\max_{i\leq n} \frac{1}{|y-q_i|} \right| \} }

距離になっていることは明らか。

位相が合致していること。任意に{x\in \mathbb{P} }と正の数{\varepsilon }をとり、{ \displaystyle \sum_{n=k}^\infty \frac{1}{2^n} \lt \displaystyle \frac{\varepsilon }{3} }となる自然数{k}をとる。{\displaystyle \sum_{n=1}^k \frac{1}{2^n}\min \{ 1 , \left| \max_{i\leq n} \frac{1}{|x-q_i|}-\max_{i\leq n} \frac{1}{|y-q_i|} \right| \} }は連続ゆえ、ある{\delta '}があって、

{|x-y| \lt \delta ' \Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^k \frac{1}{2^n}\min \{ 1 , \left| \max_{i\leq n} \frac{1}{|x-q_i|}-\max_{i\leq n} \frac{1}{|y-q_i|} \right| \} \lt \frac{\varepsilon }{3} }

あとは{ \delta = \min \{ \varepsilon /3 , \delta '\} }とおけば、{ |x-y|\lt \delta \Rightarrow d(x,y) \lt \varepsilon }

完備性。この距離でコーシー列なら普通の距離でもコーシー列ゆえ{\mathbb{R}}では収束、従って有理数に収束する無理数の点列がこの距離でコーシー列とならないことを示せば良いがこれはほぼ明らか。

{(x_n)}有理数{q}に収束する無理数列とし、{q=q_N}なる自然数をとれば、{m\gt N ,k}について

{ \displaystyle \left| \max_{i\leq m} \frac{1}{|x_j-q_i|}-\max_{i\leq m} \frac{1}{|x_k-q_i|} \right| \to \infty \ (j \to \infty )}

だから各{k}に対して大きい{j}をとれば{d(x_j,x_k) \gt 1/2^N }

 

 

 

 

 

今夜も眠れない。仲直りして機嫌がいいですぽよぽよ