広島と軽音
数学のことについて何かを言うわけではありません。
普通に日記的な感じで書こうと思いました。
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昨日は軽音部の友人が出演してたNo Border Rock Festivalというイベントに行ってきました。梅田です。
もともとこのイベントのことも全く知らなかったのですが、突然昨日の朝11時半前に
「今日、LIVEあるぞ。」
とだけ送ってきてそこで昨日の僕の運命が決まったのでしょう。
何時からかときくと
「12時半」
と言われて。いやちょっと突然すぎません?
どうしようか迷って迷ってしょうがない行ってやるかとクソ急いで風呂入って出てきたら
「間違えた1時半からだった」
無駄に急いで労力を使ってしまいました。
その分家でダラダラして結局1時半にも間に合いませんでした。
これは幾つかの大学で共同でやってるイベントのようです。
音が大きくて迫力あります。結構大きな場所で楽しかったです。
行く途中に迷子になって、もともと少し遅刻だったのもあって、結局友人のは最後しか聞けませんでした。
本当に何をやっているんだ僕は。
いや、これ場所が超わかりにくくて、僕は悪くないんです、地図が悪いのです。
ビルの中だったので見つけるのが難しかったんです。
こういう少し特別な場所で音楽を聴くとなんでもかんでも良い曲にきこえてきて、
僕の中の良い悪いの基準は本当に曖昧だと感じます。
そもそもそんな基準は無く、気に入るか気に入らないかですよね。
そうですよね。言葉を間違いました。
友人の弾いていた曲もいい曲にきこえたわけですが、何という曲だったのかわかりません。
もどかしいですね。
LiSAの曲です。
なんか最後の方はラララーばっかり言ってた記憶があります。
あとはー、んー友人の髪の毛の一部が赤くなっていたのを覚えています。
友人の髪の毛の一部が赤くなっていても曲名はわかりませんね。
まぁなんかラララ〜って感じの曲です。
こんな書き方すると僕が良いなあと思ったと書いたことが嘘みたいに聴こえますね。
文章力がないんですよ。語彙力かな?
とにかく僕が「ああ、良いなぁ」と思ったのは事実です。
ほら、なんか緊張で強張りながらも口元はなんだか楽しそうに笑ってるような表情でギターを弾いてる姿とかを実際に見ると、感じるものがあるじゃないですか。
そういうことです。
最近膝が痛くてそんなに立ってられないのと、単純に寝不足&おとといまで広島行ってたとかで疲れてたので、3団体ほど見たあと本屋に少し寄って帰りました。
友人以外の団体の記憶と感じたことを述べます。
神大の団体はめちゃくちゃ頭振っててちぎれないか心配でした。
あのギターの人、本当に首大丈夫なんだろうか?
関学の団体がふにゃふにゃしてて面白かったです(トークの話)。ふにゃふにゃしたの結構好きです。
Spangle call Lilli line?とかいう人たちの曲を歌っていたようです。
今流しながらこれ書いてますが、彼らの演奏していた曲には出会えてません。曲名をすぐ忘れてしまう。
とまぁ、こんな感じでした。
昨日は1日目のようで、今日もやってるみたいです。
まぁ今日はいかないと思いますが…
10枚ほどレポートを書かないといけないので。。。
もうレポート放棄しようかな。。。
面倒くさいし。。。
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さて、おとといまで広島に行ってたんです。
母の実家に帰ってました。お盆ですし。
厳島神社に行ってきたので、適当に撮った写真を適当に載せておきます。
厳島神社の鳥居とコイル。
宮島の鹿とアーボ。縦になりました。
鳥居とピカチュウ。神社側から。
鹿とイーブイ。暑そう。
横にまっすぐ伸びる松の木とラフレシア。
しゃもじとコダック。
天気が良かったことが写真から窺えますね。
あまり気にしていなかったのですが。
クソ暑かった記憶があります。
ポケモンGOをやりながら歩いていると気づいたのですが、やはりゲームをしながら歩いていると周りの人間程度のものには気づいても、細かなものに気づかなくなりますね。
例えば上の画像の横にまっすぐ伸びる松の木、これ何も看板も立っていなくて、気づかずにスルーしてしまったところを、おじいちゃんに指摘されてはじめて気付きました。
愕然としました。
他にもたくさんいろんな貴重なものを見逃したのだろうなぁと思います。
そういえば、宮島へは船で行くのですが、船はまぁ揺れて危ないので、「歩きスマホ禁止」みたいな張り紙は貼ってありました。
僕はちょうど目が痒かったので目をかきながら歩いていたのですが、目をかいていると本当に周りが見えなくなって危ないので、スマホをしながら歩くよりも目をかきながら歩く方が危険かもしれません。
これは禁止すべきですね:「危険なので目をかきながら歩くのは禁止!」
アレルギー持ちは死にますね。かわいそうに。。。
僕のことです。
ひねくれているので、スマホ禁止の張り紙を見るだけでそんなことを思ってしまうのでした。
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広島へは親の運転する車で渋滞の中ダラダラと行ったのですが、車の中で東京グールを見ていました。
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ここ数日は日課にしていたことも何も勉強せず(というかできず)遊んでばかりだったので、とりあえず日課をまずはきちんとこなすようにして、徐々に勉強のペースを取り戻さなければなりません。
崩れたペースを取り戻すのは結構キツいです。
もう少しのんびりしたい気もします。
リンデレーフのアレと、その他雑にいろいろと。
この前、っていうかもう割と前ですが、数物セミナーとかいうやつのなんかイベントで、京大でおしゃべりすることになったんです。
そのときに作ったpdfをブログにのせとくよ〜と言ってたと思うのですが、長いこと放置していたのを今なんとなく思い出したので、のせます。
↓↓↓
はい。これです。
なんか割と良さそうな感じにまとまっているので、割と良いと思います。頭悪そうな言い方ですが...
リンデレーフ空間に関する超基本的な性質と、p空間、Σ空間、このブログでも前に紹介したCech完備空間とかの基本性質などがささっとまとまっています。
本当にそれなりに面白いpdfになってくれてると思うので、割と良いと思いますよ、割と。
ただなんていうか、数物セミナーのサイトにも掲載してもらってそっちでも見れるんですが、なんかLindelof空間とかリンデレフ空間とかリンデレーフ空間とかで検索かけてもそっちのは引っかからないのがちょっと残念というか。。。まあoにウムラウトついてるのでしょうがないですね。
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まわりの人が賢すぎて、位相空間論をちょっとわかっている程度の僕は、どうすれば良いのでしょう。。。
いつまでたっても圏とか層とかナンチャラホモロジーとかがわかる気しないですね。まあもっとちゃんと勉強してからそういうことは言うべきかもしれませんが。
なんか証明が長いと、それぞれでやってることが簡単でもすごく難しく見えません?層とかナンチャラホモロジーとか、あと多様体の話とかもだけど、長い証明多くて僕はもうワーーーってなりますね。ワーーって。(その点このpdfでやってる証明なんて何も難しくないので...)
もう学部3年生も約半分が終わってしまったわけですが、入学当初思っていた学部3年生の数学力と今の自分を比べてみると本当に全然だめですね。
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はい。
今日から広島へ行ってきます。
お盆なので。
オリンピックで日本選手が頑張ってますね。
まあ頑張るのは当然ですか。オリンピック行ってるわけですし。
合宿で何回か一緒になったり、試合で会ったらおしゃべりして一緒にアップしてくらいには近い仲だった人が銀メダルを取っていて、すごいですね。尊敬します。
冷房をつけっぱなしにしていますが28℃や29℃にして扇風機をかけているので、そうすると月の電気代が3000円を越えないので良いですね。
冬場に9000円近く行ってしまったことがあってびっくりした記憶があります。今夏の電気代は毎月3000円以下で過ごしたいですね。
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試験や授業を振り返ります。授業はあまり出ていなかったので振り返れないかもしれないです。試験のあった順番に振り返ります。
微分方程式の合否が出たらしく、履修登録をして試験まで受けた人が36人で、18人が合格、13人が保留らしいのですが、残りの5人は一体なんなんでしょうね?
ルベーグ積分が内容は一番簡単だったのですが、試験の成績が一番悪そうで、そもそも受かっているのかどうかすら心配です。問題は単純な計算ばかりでしたが物量が多くて辛かった記憶があります。
1限にドイツ語があったので比較的良く授業に出ていましたが、大きな教室のだいぶ後ろの方で、おにぎりを食べてのんびり数学をしながら聞いていて、優雅に過ごしていました。かなり楽しかったです。悪い生徒でしたね。まあ本当に大きな大きな部屋の後ろの方で生徒もあまり座っていない場所だったので静かにおにぎり食べていても別に誰も気にしていない感じだったんですよ。
多様体の試験は普通だったと思います。試験が終わっても8月3日までに解いて提出すれば良いとのことだったので、小林先生に「問1解いて出しますね!」と言ってそのまま出しませんでした。ごめんなさい小林先生。。。ちなみに問1は「授業で印象に残ったことを自由に記述せよ」みたいなやつだったと思います。
小林先生には本当に良くしてもらったのにレポートも結局出さないし試験もそんなに解けているわけじゃないしで申し訳なさが募るばかりです。演義も結局1問も解いていないので、本当に小林先生には恩を仇で返している感じがあって申し訳ないです。本当に申し訳ないです。だったらちゃんとしろよって感じですよね。そうですよね。。。
代数の試験はなんかさっさと退出して再履修の友人に基礎解析を教えていた記憶があります。これは代数の試験の記憶と言って良いですか?
授業の記憶もないですね。何やってましたっけ。なんか最後の方の演義で適当に発表して「君はヘラヘラしているね」と言われた以外何も記憶がないです。あ、この前パスタ屋で代数の講義の先生を見かけましたね、一人で文庫本を読んでらっしゃいました。
複素解析の試験は、調和関数に関する◯×クイズの反例挙げと、定理を覚えていないなどで、30点弱損失があった気がします(○○の定理のステートメントを書け、みたいなのが20点分くらいあった)が、授業内容の難しさの割には試験が簡単だったので、まああとは8月18日までに提出しなければいけない(しなくても合否には関係しない)レポートを出せばそれなりの成績が来るでしょうね。
授業は午前にあったのですが、1限に用があってそのまま出なかったりしたことが多かったのを覚えています。わりと難しい授業をしていた記憶があります。ちゃんと予習復習をしないと厳しそうでしたが、僕は授業にそもそもあまり出れていなかったので、結構厳しかったです。値分布論みたいなのは一度はちゃんと勉強したい内容ですね。いや授業と同時に勉強しろよって感じですよね、そうですね、はぁ〜〜〜〜〜
全体的にまだ簡単という感じですね、後期はどうなるでしょうか。楽しみです。
セミナーの授業が結構楽しくてそればっかりやっていたので、授業が簡単で助かりました。こういうのはあまり良くないですね。。。
語学は...無理ですね...本当にどうしましょう...そろそろ留年が見えてくるのですが...
とまあこんな感じの3年前期でした。
夏休みは暇なので、またちょこちょこブログが書ければいいかなあと思っていますが、位相空間論以外のことについてブログに書く気はあまりないので、やっぱり書かないかもしれないです。
Arhangel'skiiの不等式 その2
アルハンゲルスキーの不等式その2です。
昨日思い立って勉強して昨日書いたものを今日あげただけの記事です。
なんかあの、忙しくて適当な感じなんですけど、とりあえず書いたものを上げときたいから適当に記事にして貼っただけです。そんな感じ。読み手のことなど何も考えていないです。
今日は大学でサークルオリエンテーションがあったので自分の所属する自主ゼミサークル(阪ゼミ会)の一員として行ってきました。おしゃべりして帰りにご飯食べただけですが。
実家の猫が奈良県でいなくなったらしく、僕もさがしてます。これから終電までに奈良行って夜が明けるまでさがします。
だから忙しいんです。
また機会(暇)があれば、これをいい感じの記事にできたらいいなあと思います。
pdfも1日で勉強して書いた雑なものなので、これはこうだよって言う指摘あればお願いします。
以上です。
Čech完備の話
ツイッターで話題になっていたので、定義や簡単な性質や面白い話題(完備距離化可能性)などをまとめようと思います。
これから考える空間はすべて完全正則ハウスドルフです。
※あとで前提知識のところを補う記事を書きます。
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《前提知識》
(1)完全正則空間からコンパクトハウスドルフ空間への任意の連続写像がStone-Čechコンパクト化上の連続写像に一意に拡張されます。また、任意のコンパクト化に対し、の点を動かさない連続写像があります。この写像を射影と言います。が射影のとき、となることが知られています。Stone-Čechコンパクト化についてはこちらが参考になると思います→
(2)距離空間は全体正規です。これに関してはこちらの記事のpdfに書いてあります→パラコンパクト
(3)Alexandroff-Uryshonの距離化定理を軽く使います。正規列を成す展開列を持つ空間は距離化可能というものです。位相空間の正規列とは、開被覆の列であって、各について星形集合(ただし、)がを細分するようなものです。展開列とは、開被覆の列であってが各の基本近傍系を成すものです。意識さんのブログのこの記事が参考になると思います→距離化可能定理part1:Alexandroff-Urysohn-Tukey
(4)正規列に対して、その正規列をある意味測るような擬距離が定義されます。詳しく述べると次のようになります:空間の正規列に対し、上の擬距離であって、となるものがある。ここではこの擬距離での開球。これに関してはこちらが参考になると思います→一様空間1 - yujitomoのブログ
(5)集合の有限交叉性を持つ空でない部分集合の族ををフィルターベースと言い、フィルターベースがさらにとを満たすときにフィルターと言います。フィルター全体には包含関係で順序が入り、Zornの補題から極大フィルターの存在を知ります。また、フィルターベースは自然に極大フィルターを生成します。極大フィルターは任意の部分集合についてかの補集合の一方を含みます。
例えば位相空間である点の近傍系などはフィルターです(近傍フィルターと言います)。位相空間のフィルターがある点の近傍系を部分集合に含むとき、フィルターはに収束すると言います。容易に分かることですが、コンパクト空間であることと任意の極大フィルターが収束することは同値です。
の点をフィルターの触点と言い、これが空でないときにフィルターは触点を持つと言います。容易にわかることですが、ハウスドルフ空間の近傍フィルターの触点は一点集合からなります。
これだけの前提知識を仮定しておけば一応読めると思います。一様空間の完備性に関してコーシーフィルターの話がありますが、今回はその知識は必要ないでしょう。フィルターは結構使います。
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【定義1】
・完全正則空間について、がStone-Čechコンパクト化の中でGδ集合となるとき、Čech完備(Čech-Complete)であると言う。
・完全正則空間は、任意の拡張空間(を稠密部分集合として含む空間)の中でGδ集合であるとき、絶対Gδ(absolute Gδ)であると言う。■
例えば、これは手頃な演習問題ですが、局所コンパクトであれば任意の拡張空間の中で開なので絶対GδでありČech完備となります。
次の命題は、これからの話の中で中心的役割を果たす命題です:
【命題1】
完全正則空間について、次はすべて同値:
(1)はČech完備。
(2)はあるコンパクト化の中でGδ。
(3)は任意のコンパクト化の中でGδ。
(4)は絶対Gδ。
(5)次を満たす開被覆の列がある:となるフィルターは触点を持つ。
(証明)
(4)⇒(3)、(3)⇒(2)は自明。(2)⇒(1) は、あるコンパクト化でGδであるとき、射影で引き戻すことを考えればでもGδとなることがわかるのでほぼ自明。
(1)⇒(5)
はでGδなので、の可算個の開集合があってと書ける。
各点に対してとなるをとり、と置く。このが条件を満たすことを言えば良い。
を(5)の条件を満たすフィルターとすると、有限交叉性からが取れる(はコンパクト)。ここでは(5)の条件を満たすから、任意のに対してあるがあってとなるが、であるから、がわかる。従って、つまりはの触点となる。
(5)⇒(4)
をの拡張空間とする。(5)の条件を満たす開被覆の列をとり、各に対しての開集合をとなるようとる。の開集合の列をで定める。
を示せば良いから、をとる。の近傍フィルターをとすれば、は(5)の条件を満たすので触点がある。ここでであるからは近傍フィルターのでの触点となるが、先に述べた通りハウスドルフ空間の近傍フィルターの触点は一点に限るからとなる。これはに反する。□
この命題の(1)⇔(5)と前提知識(3)を合わせて使うことで、完備距離化可能性などの興味深い性質を導くことができます。
Čech完備空間の基本的な性質については次が知られています:
【命題2】
(1)Čech完備空間の閉集合はまたČech完備。
(2)Čech完備空間のGδ集合はまたČech完備。特に開集合はČech完備。
(3)Čech完備空間可算個の積空間はまたČech完備。
(証明)
(1)と(2)は同時に示せる。をČech完備空間の閉またはGδ集合とする。命題1(1)⇔(2)から、でがGδとなることを示せば良い。はČech完備であるから、の可算個の開集合でとなる。
が閉なら、なのでとなる。
がGδならなるの開集合をとってとなるの開集合をとれば、となる。
以上より閉、Gδのどちらの場合でもでGδとなることが示された。
(3)は容易。をČech完備空間の可算族とすれば、はでGδなので命題1(1)⇔(2)により示された。◻︎
さて、次は今回のメインテーマであるところの、完備性です。
【完備距離化可能性】
距離空間について、次は同値:
(1)は完備距離化可能。つまりにはもとの距離以外に、位相の合致する完備な距離が存在する。
(2)はČech完備。
(3)はそれを含む任意の距離空間でGδ。
(証明)
(1)⇒(2)は命題1(1)⇔(5)を使う。を完備な距離としてが完備性から命題(5)の条件を満たすことを見る。を命題(5)の条件を満たすフィルターとすれば、各についてあるがあってとなるがこのときはコーシー列となって極限点はこのフィルターの触点である。以上で示された。
(2)⇒(3)は命題1(1)⇔(4)から明らか。(3)⇒(2)を示すためにの完備化をとれば、この定理の(1)⇒(2)よりはČech完備なので命題2(2)からもČech完備となる。従ってあとは(2)⇒(1)が示せれば良い。
(2)⇒(1)。
まず命題1(5)の条件を満たす開被覆の列をとる。前提知識(2)から距離空間は全体正規なので、正規列となる展開列によりの形でそれぞれ細分できる。この正規列に対して前提知識(3)を満たす擬距離をとれば、展開列をなすことからこれはの位相に合致する距離となる(前提知識(4)Alexandroff-Urysohnの距離化定理)。これが完備な距離であることを示そう。命題1(5)の条件を使う。
コーシー列を任意にとれば、各に対してあるがあってとなり、このときである。従ってとおけばはフィルターベースであり、これが生成するフィルターはから命題1(5)の条件を満たす。したがって触点を持つがこれは明らかにの収束先である。◻︎
完備距離空間に対してはベールの範疇定理が知られていますが、これは局所コンパクト空間でも成立するものでした。Čech完備空間はある意味で完備距離空間と局所コンパクト空間を包括する概念ですから、Čech完備空間に対して似た定理が成立することが予想されます。これについて述べてこの記事は終わりにします。
【定義】
を位相空間、をその部分集合とする。
・の閉包に内点がないとき、を全疎(nowhere dense)という。つまりのときにを全疎という。
・が全疎集合の可算和となるとき、第1類(first category)集合という。
・第1類でない集合を第2類(second category)という。
・任意の空でない開集合が第2類である空間はベールの性質(Baire property)を持つといわれる。■
【定理4】
Čech完備空間はベールの性質を持つ。
(証明)
Čech完備空間の開部分集合はČech完備であるからČech完備空間それ自身が第2類であることを言えば良い。
全疎な閉集合可算個でとなっていたとする。となるの可算個の開集合をとる。はもし全疎でなければがの内点になるから、は全疎。
従って点が取れる。このときとなる開集合が取れる。
次に、点と空でない開集合がとれていたとき、同様にして点と開集合が取れる。
さて、と置く。は単調減少に構成しているのでこれは有限交叉性を持っては空でない(はコンパクト)。またであるから。一方でであるから。これは仮定に反する。□
【系:ベールの範疇定理】
完備距離空間と局所コンパクト空間はそれぞれベールの性質を持つ。
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なんか思ったより長くなったのですが、可算乗法性についてほとんど触れれなかったのでまた今度やろうと思います。(本当はこれを書こうと思って前提知識のとこに完全写像に関して少し書いていたのですが不必要になってしまったので消したりしました。これでちょっと番号がずれたとこがあるかもしれないです。)
実は擬コンパクト空間もベールの性質を持つことが知られています。
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なんかいろいろあっていろいろありましたが元気です。今日は週に唯一の自主ゼミの日なので、頑張って起きます。では。
【参考文献】
・Vladimir V. Tkachuk , A -theory ploblem book Topological and Function Spaces , Springer(2010)