2016-01-30

無理数の集合の完備な距離の例とか

数学ジェネトポ

・ ${(0,1)}$ の完備な距離

　 ${d(x,y)=\left| \displaystyle \frac{1}{x}-\frac{1}{y}+\frac{1}{x-1}-\frac{1}{y-1}\right|}$

とか。

・ ${\mathbb{R}}$ の完備でない距離

　 ${d(x,y)=|e^x-e^y|}$

とか。 ${x_n=-n}$ はコーシー列。

・ ${(0,\infty )}$ の完備な距離

　 ${d(x,y)=\left| \displaystyle \log \frac{x}{y} \right| }$

とか。 ${x_n=1/n}$ はコーシー列でない。

・ ${\mathbb{Q}}$ の完備な距離

存在しない。あったとすればベールの範疇定理（リンクはWiki）から ${\mathbb{Q}}$ は第二類。一方 ${\mathbb{Q}}$ は可算、一点集合は全疎だから即ち ${\mathbb{Q}}$ は第一類。これは矛盾。

・無理数の集合 ${\mathbb{P}=\mathbb{R} \setminus \mathbb{Q}}$ の完備な距離

${\mathbb{Q}}$ を整列して ${\{ q_n : n \in \mathbb{N}\}}$ として、

${d(x,y)=|x-y|+ \displaystyle \sum_{n=1}^\infty \frac{1}{2^n}\min \{ 1 , \left| \max_{i\leq n} \frac{1}{|x-q_i|}-\max_{i\leq n} \frac{1}{|y-q_i|} \right| \} }$

距離になっていることは明らか。

位相が合致していること。任意に ${x\in \mathbb{P} }$ と正の数 ${\varepsilon }$ をとり、 $\sum_{n=k}^\infty \frac{1}{2^n} \lt \displaystyle \frac{\varepsilon }{3}$ となる自然数 ${k}$ をとる。 $\sum_{n=1}^k \frac{1}{2^n}\min \{ 1 , \left| \max_{i\leq n} \frac{1}{|x-q_i|}-\max_{i\leq n} \frac{1}{|y-q_i|} \right| \}$ は連続ゆえ、ある ${\delta '}$ があって、

${|x-y| \lt \delta ' \Rightarrow \displaystyle \sum_{n=1}^k \frac{1}{2^n}\min \{ 1 , \left| \max_{i\leq n} \frac{1}{|x-q_i|}-\max_{i\leq n} \frac{1}{|y-q_i|} \right| \} \lt \frac{\varepsilon }{3} }$

あとは ${ \delta = \min \{ \varepsilon /3 , \delta '\} }$ とおけば、 ${ |x-y|\lt \delta \Rightarrow d(x,y) \lt \varepsilon }$ 。

完備性。この距離でコーシー列なら普通の距離でもコーシー列ゆえ ${\mathbb{R}}$ では収束、従って有理数に収束する無理数の点列がこの距離でコーシー列とならないことを示せば良いがこれはほぼ明らか。

${(x_n)}$ が有理数 ${q}$ に収束する無理数列とし、 ${q=q_N}$ なる自然数をとれば、 ${m\gt N ,k}$ について

$\left| \max_{i\leq m} \frac{1}{|x_j-q_i|}-\max_{i\leq m} \frac{1}{|x_k-q_i|} \right| \to \infty \ (j \to \infty )$

だから各 ${k}$ に対して大きい ${j}$ をとれば ${d(x_j,x_k) \gt 1/2^N }$ 。

2016-01-24

族正規でない完全正規空間

数学ジェネトポ

児玉永見に載っていた例です。

${P}$ を非可算集合とし、 ${Q}$ をそのべき集合とする。 ${Q}$ 上で自然数値（ただし ${0}$ は自然数に含めるとする）をとる写像全体を ${X}$ とする。

${ p \in P }$ に対して、 ${ x_p:Q \to N , q \mapsto 1 \ ( p \in q ) , q \mapsto 0 \ ( p \not \in q ) }$ と定め、 ${X_0=\{ x_p : p\in P \} }$ と置く。 ${Q_0}$ を ${Q}$ の全ての有限部分集合の集合とする。

${X}$ に次で位相を定める；

　・ ${x\not\in X_0}$ の各点はそれ一点が開である。

　・ ${x_p\in X_0}$ と ${r\in Q_0}$ と ${n\in\omega}$ に対して、

　　 ${V(x_p,r,n)=\{ x_p\}\cup \{ x : x(q)\geq n+1 \ (\forall q \in Q) , 2|(x(q) - x_p(q)) \ (q\in r) \}}$

　　と定義して、各 ${r\in Q_0}$ と ${n}$ に対する ${V(x_p,r,n)}$ 全体を ${x_p}$ の近傍ベースとする。

　　ただし、 ${2|(x(q) - x_p(q))}$ は ${2}$ で割り切れること、すなわち ${x(q) - x_p(q)}$ が偶数であることを意味する。

${p,p'\in P, r,r'\in Q_0}$ とする。各 ${q\in r\cap r'}$ に対して ${x_p(q)=x_{p'}(q)}$ が成り立つとき、任意の自然数 ${n,m}$ に対し ${V(x_p,r,n)\cap V(x_{p'},r',m) \neq \emptyset}$ となる（＊１）ことが容易にわかる。

・ ${X}$ が完全正規であることを示す。

${X}$ が ${T_1}$ であることは容易に分かるので、正規であることを言う。 ${H_1,H_2}$ を交わらない閉集合とし、 ${A_i=X_0\cap H_i,i=1,2}$ と置く。

${A_1=\emptyset}$ ならば ${H_1}$ は開かつ閉なのでこのときは良い。 ${A_1,A_2\neq \emptyset}$ とする。

${q_i=\{ p\in q: x_p\in A_i \},r=\{ q_1,q_2 \}}$ と置いて、

　 ${D_i=\bigcup \{ V(x_p,r,1):p\in q_i\} }$

とおけば、これらは ${A_i}$ の ${X}$ での素な近傍であるので、

　 ${U_1=H_1\cup (D_1-H_2),U_2=H_2\cup (D_2-H_1)}$

とすればこれらが ${H_1}$ の素な近傍となる。

完全正規であることを示すために任意に閉集合 ${H}$ をとりGδ集合であることを示す。

${r\in Q_0}$ を任意に取り、

　 ${G_n=\bigcup \{ V(x_p,r,n):x_p\in X_0\cap H \} \cup (H-X_0)}$

とおけば ${H=\bigcap_{n}G_n}$ となるので、以上より ${H}$ はGδ。

これで完全正規であることがわかった。

・族正規でないことを示す。

Δ-システム補題（リンクはWiki）を使う。

${\{ \{ x_p \} : p\in P \} }$ は疎な閉集合族である。この各点の近傍からなる素な族 ${\{ V(x_p,r_p,n_p) : p\in P \} }$ は存在しないことを示そう。任意に ${x_p,r_p,n_p}$ をとり、 ${P_0\subset P}$ に対して ${\mathcal{V}(P_0)=\{ V(x_p,r_p,n_p) : p\in P_0 \}}$ とおく。