Cohen-Macaulay環の基本性質 - yujitomoのブログ

$\require{AMScd}$

更新が滞ってましたが、人生が本当に本当に忙しかったんです、すみません。
最近はOLになりたいなと思って過ごしています。休日にインスタ映えするパンケーキを追いかけるOLになりたい。バカにしてるわけじゃなくて本心です。

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メモ書き的なことをしたいと思って、好都合なものがブログだったので、また書きます。
タイトル通り、Cohen-Macaulay環（以下、CM環と略す）についてのメモです。

CM環はdepthを用いて定義されるのが普通ですが、depthはExtにより特徴付けられるのでどうしてもCM環の理論は基本的な部分にもホモロジー代数が食い込んでいるように思いがちです。
ですがまあ簡単なことは簡単に理解したいと言う気持ちで考えてると、ホモロジー代数に頼らなくてもかなりの部分がカバーできると思ったので、それを紹介（未来の自分に対しての紹介？）します。
depthとホモロジー代数の関係については後藤渡辺(GW)や松村(M)、Serre(S)のLocal AlgebraやGrothendieck(G)のlocal cohomologyなどに綺麗にまとめてあります。

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まずはじめにdepthや正則列についてこの記事で必要になる事柄をホモロジー代数によらずに示し、そこからCM環の基本性質を述べる。

【定義：depth】 $A$ をNoether環、 $M$ を $A$ -加群、 $I$ をイデアルとする。
$f_1,\cdots ,f_n \in I$ が $M$ -正則列であるとは、任意の $i=1,\cdots ,n$ に対して $f_i$ 倍が $M/(f_1,\cdots ,f_{i-1})M$ に非零因子として作用し、 $M/(f_1,\cdots, f_n)M\neq 0$ となることを言う。
これ以上延長できない $M$ -正則列を、極大と言う。
$M$ -正則列の長さの最大値を $M$ の $I$ -depthといい、 $\textrm{depth}_A(I,M)$ で表す。
$A$ がNoether局所環で $I$ がその極大イデアルのとき、たんに $\textrm{depth}_A(M)$ と表して、 $M$ のdepthと言う。
この場合は最後の条件 $M/(f_1,\cdots, f_n)M\neq 0$ は中山の補題から自明になる。係数環 $A$ が明らかな場合にはたんに $\textrm{depth}(M)$ と書く。□

定義から従う重要なこととして、 $B$ が $A$ -平坦なら $\textrm{depth}_A(A) \leq \textrm{depth}_B(B)$ となる。
従って特に $\textrm{depth}_A(A) \leq \textrm{depth}_{\hat{A}}(\hat{A})$ となる。ここで $\hat{A}$ は $A$ の完備化。

正則列やdepthの基本性質をこの記事内で用いられるNoether局所環上の有限生成加群の場合に述べよう。

【基本性質1：depth≦次元】
$(A,\mathfrak{m})$ をNoether局所環、 $M$ を有限生成加群とすると、 $\textrm{depth}(M) \leq \textrm{dim}(M)$ である。
ただし $M$ の次元とは位相空間 $\textrm{Supp}(M)$ の次元とする。□

$f_1\in \mathfrak{m}$ が $M$ に正則に作用すれば $\textrm{dim}(M/(f_1)M) = \textrm{dim}(M)-1$ なのでdepthによる帰納法が回る。■

【基本性質2：正則列の並び替え】
$A$ がNoether局所環、 $M$ が有限生成加群であれば、 $M$ -正則列はどんな並び替えを行なっても $M$ -正則列である。□

［証明］
長さ2の正則列についてそれが交換できれば良い。 $f_1,f_2$ を $M$ -正則列とすれば次の可換図式を得る： \begin{CD} 0 @>>> \ker f_2 @>{f_1}>> \ker f_2 @>>> 0 @. \\ @. @VVV @VVV @VVV @. \\ 0 @>>> M @>{f_1}>> M @>>> M/f_1M @>>> 0 \\ @. @V{f_2}VV @V{f_2}VV @V{f_2}VV @. \\ 0 @>>> M @>{f_1}>> M @>>> M/f_1M @>>> 0 \\ @. @VVV @VVV @. @. \\ 0 @>>> M/f_2M @>{f_1}>> M/f_2M @. \end{CD} 一番上の行の右端は正則列の定義から0であり、ここで中山の補題を使って $\ker f_2=0$ がわかる。
また蛇の補題から一番下の行の左端が0であり、 $f_2,f_1$ が正則列となることがわかる。■

【基本性質3：極大正則列の長さ】
$A$ をNoether局所環、 $M$ を有限生成加群とすれば、極大 $M$ -正則列の長さはどれも一定である。□

［証明］
次元に関する帰納法を用いる。 $\textrm{dim}(M)=0$ なら $\textrm{depth}(M)=0$ なので良い。
一つの元 $f$ が極大 $M$ -正則列とすると、 $\mathfrak{m}\in\textrm{Ass}(M/fM)$ なのである $m\in M$ があって $\mathfrak{m}=\textrm{Ann}(m+fM)$ となる。
するとどんな $M$ -正則元 $g$ に対しても $gm\in fM$ であるから $n\in M$ により $gm=fn$ と書ける。
このとき $a\in\mathfrak{m}=\textrm{Ann}(m+fM)$ を取れば $am=fm'$ と書けて $fan=agm=fgm'$ となり $f$ が $M$ -正則なので $an=gm'\in gM$ 、つまり $a\in\textrm{Ann}(n+gM)$ となるので、 $\mathfrak{m}\in\textrm{Ass}(M)$ である。
以上で長さ1の極大 $M$ -正則列があればどんな極大 $M$ -正則列も長さ1だとわかった。

一般の場合を示す。 $f_1,\cdots,f_r$ と $g_1,\cdots,g_s$ を極大 $M$ -正則列とする。
このとき $\mathfrak{m}\not\in\textrm{Ass}(M/(f_1,\cdots,f_{r-1})M) , \mathfrak{m}\not\in\textrm{Ass}(M/(g_1,\cdots,g_{s-1})M)$ であるから、 $M/(f_1,\cdots,f_{r-1})M,M/(g_1,\cdots,g_{s-1})M$ のどちらにも正則に作用する $h\in\mathfrak{m}$ が取れて、長さ1の場合を適用することで $(f_1,\cdots,f_{r-1},h),(g_1,\cdots,g_{s-1},h$ はどちらも極大 $M$ -正則列となる。
並び替えをして $(f_1,\cdots,f_{r-1}),(g_1,\cdots,g_{s-1})$ はどちらも極大 $M/hM$ -正則列となって次元に関する帰納法で $r=s$ がわかる。■

これはExt群によるdepthの特徴付けを用いた方がスッキリした理解が得られる。一般にNoether環 $A$ のイデアル $I$ と有限生成加群 $M$ に対して、 $\textrm{Ext}^i_A(A/I,M)$ が i < n で0となることと $I$ から長さnの $M$ -正則列が取り出せることは同値となる。これから上は従う。

【基本性質4：正則列による剰余】
$A$ をNoether局所環、 $M$ を有限生成加群、 $f_1,\cdots,f_r$ を $M$ -正則列とする。
このとき $f_1,\cdots,f_r$ は長さ $\textrm{depth}(M)$ の $M$ -正則列に延長でき、従って $\textrm{depth}(M/(f_1,\cdots,f_r)M)=\textrm{depth}(M)-r$ である。□

これは基本性質3から直ちに導かれる。

より詳しいことを調べるには、基本性質1よりも精密な不等式を得る必要がある：

【基本性質5：depthと随伴素イデアル】
命題1と同じ仮定で任意の $\mathfrak{p}\in\textrm{Ass}(M)$ に対して $\textrm{depth}_A(M)\leq\textrm{dim}(A/\mathfrak{p})$ となる。□

［証明］ $f_1,\cdots ,f_r\in\mathfrak{m}$ を $M$ -正則列を任意にとる。 $\mathfrak{p}_0\in\textrm{Ass}(M)$ とするとある $m\in M$ で $\mathfrak{p}_0=\textrm{Ann}(m)$ と書ける。 $\textrm{Ann}(m)=\textrm{Ann}(fm)$ なので $f$ で割れるだけ割っても零化イデアルが変わらず、 $f$ で割る操作は無限に続くことがない(Krullの共通部分定理)。従って $M/(f_1)M$ で $\bar{m}\neq 0$ として良い。よって $\mathfrak{p}_0\subset\textrm{Ann}(\bar{m})\subset\mathfrak{p}_1\in\textrm{Ass}(M/(f_1)M)$ となる $\mathfrak{p}_1$ が取れて、 $f_1\in\mathfrak{p}_1\setminus\mathfrak{p}_0$ である。繰り返すと、各 $i$ で $f_i\in\mathfrak{p}_i\setminus\mathfrak{p}_{i-1}$ となる素イデアルの列 $\mathfrak{p}_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak{p}_r$ が取れて証明が終わる。■

[M 系17.2] , [S chap.IV prop 7] , [EGA chap.0 16.4.6.(iii)]を参照。これは[S]や[EGA]などではよくわからない（ちゃんと読んでいない）があまり見通しの良い証明というわけでもなさそうな帰納法で示しているように思える。[M]ではホモロジー代数におけるより一般的な定理の帰結としている。

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CM環について述べる。

【定義：Cohen-Macaulay】
$A$ がNoether局所環のとき、有限生成加群 $M$ がCohen-Macaulay加群(CMと略す)であるとは、 $\textrm{depth}(M)=\textrm{dim}(M)$ となることを言う。
$A$ がCM $A$ -加群であるとき、Cohen-Macaulay局所環と言う。□

簡単にわかることとして、 $f_1,\cdots,f_r\in\mathfrak{m}$ が $M$ -正則列であれば、 $M$ がCM加群であることと $M/(f_1,\cdots,f_r)M$ がCM加群であることは同値となる。正則列生成なイデアルで割ればその長さ分だけちょうど次元とdepthが下がるからである。
またArtin局所環はCM局所環となる。正則局所環はその極大イデアルが正則列で生成されるのでCM局所環となる。

基本性質5からCM加群は埋込点を持たないことがわかる。つまりCM加群の随伴素イデアルはすべてsupportの極小元である。
この事実はCM加群の本質的な性質であり、これからいろいろ導ける。たとえば次は基本的である：

【命題1】
$(A,\mathfrak{m})$ をNoether局所環、 $M$ をCM $A$ -加群、 $\mathfrak{p}$ を素イデアルとする。
このとき $\textrm{depth}_A(\mathfrak{p},M)=\textrm{dim}(M_\mathfrak{p})$ である。
特に $M_\mathfrak{p}$ はCM $A_\mathfrak{p}$ -加群である。□

［証明］
$\leq$ 側は自明なので逆を示す。 $M_\mathfrak{p}\neq 0$ の場合のみ考えれば良いので $\mathfrak{p}\in\textrm{Supp}(M)$ とする。 $M$ -正則列 $f_1,\cdots ,f_r\in\mathfrak{p}$ に対して $M/(f_1,\cdots ,f_r)M$ を考えて $\textrm{depth}_A(\mathfrak{p},M)=0$ として良い。
$M$ はCM加群なので $\textrm{Ass}(M)$ の元はみな $\textrm{Supp}(M)$ の極小元となるが、 $\textrm{depth}_A(\mathfrak{p},M)=0$ より $\mathfrak{p}\in\textrm{Ass}(M)$ であり $\textrm{Supp}(M_\mathfrak{p})=\left\{\mathfrak{p}\right\}$ となって0次元である。
また $\textrm{depth}_A(\mathfrak{p},M)=\textrm{depth}_{A_\mathfrak{p}}(M_\mathfrak{p})$ なので $M_\mathfrak{p}$ はCM $A_\mathfrak{p}$ -加群となる。■

特にCM局所環の任意の素イデアルによる局所化はCM局所環なので、次の定義が有効である：

【定義：CM環】
Noether環 $A$ がCohen-Macaulay環であるとは、任意の素イデアルでの局所化がCM局所環であることを言う。
上の事実から任意の極大イデアルでの局所化がCM局所環であればCM環となり、またCM環の任意の局所化はCM環である。□

CM加群が埋込点を持たないことから他にわかることとして、CM局所環のパラメタ系が正則列をなすという重要な事実がある。
一般のNoether局所環で $f_1,\cdots ,f_r$ が長さrの正則列ならイデアル $(f_1,\cdots ,f_r)$ は高さrで、 $(f_1,\cdots ,f_r)$ が高さrのイデアルなら $A/(f_1,\cdots ,f_r)$ の非零因子 $f_{r+1}$ を取ればKrullの標高定理から $(f_1,\cdots ,f_{r+1})$ は高さr+1であるから $f_1,\cdots ,f_r$ はパラメタ系に延長される。
CM局所環ではこれらが同値になる：

【命題2】
$A$ をCM局所環とすると、 $f_1,\cdots ,f_r$ がパラメタ系の一部⇔ $f_1,\cdots ,f_r$ は $A$ -正則列。□

［証明］
$\Leftarrow$ 側は上で述べたからパラメタ系 $f_1,\cdots ,f_r$ が $A$ -正則列であることを示せば良い。
もし $f_1$ が零因子なら $f_1\in\mathfrak{p}\in\textrm{Ass}(A)$ を取れば、 $A$ はCM環で $\mathfrak{p}$ は極小素イデアルだから $r=\textrm{dim}(A)=\textrm{dim}(A/\mathfrak{p})$ となる。
一方 $f_2,\cdots ,f_r$ は $A/\mathfrak{p}$ のパラメタ系であるから $\textrm{dim}(A/\mathfrak{p})=r-1$ となってこれは矛盾。■

これからただちに次がわかる：

【定理3：純性定理】
$A$ をNoether環とする。 $A$ がCM環である⇔ $A$ が純性定理を満たす。
ただし $A$ が純性定理を満たすとは、r個の元で生成された高さrのイデアルが埋込点を持たないことを言う。□

［証明］
$\Rightarrow$ はr個の元で生成された高さrのイデアル $I$ に対してその随伴素イデアル $\mathfrak{p}$ で極小でないものを取れば $A_\mathfrak{p}$ のCM性と命題4から矛盾が出る。
$\Leftarrow$ は素イデアル $\mathfrak{p}$ を任意に取って長さ最大の $A_\mathfrak{p}$ -正則列 $f_1,\cdots ,f_r\in\mathfrak{p}$ を取れば $\mathfrak{p}$ はイデアル $(f_1,\cdots ,f_r)$ の随伴素イデアルなので純性定理より $(f_1,\cdots ,f_r)$ の極小素イデアルとなり $\textrm{dim}(A_\mathfrak{p})=r$ がわかる。■

【系4】
$A$ をCM環の準同型像とすると、 $A$ は鎖状環である。
つまり任意の二つの素イデアル $\mathfrak{p}\subset \mathfrak{p}'$ に対して、長さが最大の素イデアル鎖 $\mathfrak{p}=\mathfrak{p}_0\subset\cdots\subset\mathfrak{p}_r=\mathfrak{p}'$ は全て同じ長さとなる。□

［証明］
$A$ はCM環としてよく、さらに局所化を考えて $A$ は局所環で $\mathfrak{p}'$ は極大イデアルとして良い。
すると $\textrm{ht}(\mathfrak{p})+\textrm{dim}(A/\mathfrak{p})=\textrm{dim}(A)$ を示せば良いが、 $\textrm{ht}(\mathfrak{p})=r$ とすれば $A$ -正則列 $f_1,\cdots ,f_r\in\mathfrak{p}$ が取れて $\mathfrak{p}$ は $(f_1,\cdots ,f_r)$ の随伴素イデアルとなる。
また $A$ はCM環なので $\mathfrak{p}$ は $(f_1,\cdots,f_r)$ の極小素イデアルである。
ここで $A/(f_1,\cdots ,f_r)$ はCM局所環なので $\textrm{dim}(A/\mathfrak{p})=\textrm{dim}(A/(f_1,\cdots ,f_r))=\textrm{dim}(A)-r$ となる。■

この他に大切なこととしては、完備化との比較がある。

【命題5】
$A$ をNoether局所環とすると $\textrm{depth}(A)=\textrm{depth}(\hat{A})$ である。とくに $A$ がCM環 ⇔ $\hat{A}$ がCM環。□

［証明］
$\hat{A}$ は平坦 $A$ -代数なので $\leq$ 側はわかる。
$f_1,\cdots ,f_r$ を長さ最大の $A$ -正則列として $A/(f_1,\cdots ,f_r)$ を考えることで $\textrm{depth}(A)=0$ のときに $\textrm{depth}(\hat{A})=0$ を示せば良い。
$\textrm{depth}(A)=0$ なので $\mathfrak{m}\in\textrm{Ass}(A)$ であり、 $A/\mathfrak{m}=\hat{A}/\hat{\mathfrak{m}}\subset A\subset\hat{A}$ の包含射で1の像を $a$ とすれば $\textrm{Ann}_{\hat{A}}(a)=\hat{\mathfrak{m}}$ となるから $\hat{\mathfrak{m}}\in\textrm{Ass}(\hat{A})$ で $\textrm{depth}(\hat{A})=0$ である。■

depthのExtによる特徴づけを用いてもできる。より一般に平坦射のfiber環の次元やdepthに関する以下の等式が成り立ち、上の命題はその系である。

【fiber環の次元やdepth】 $(A,\mathfrak{m}),(B,\mathfrak{n})$ をNoether局所環、 $f:A\to B$ を平坦な局所準同型とすると、
(1) $\textrm{dim}(A)+\textrm{dim}(B/\mathfrak{m}B)=\textrm{dim}(B)$
(2) $\textrm{depth}(A)+\textrm{depth}(B/\mathfrak{m}B)=\textrm{depth}(B)$
が成り立つ。とくに、 $B$ がCM環⇔ $A$ と $B/\mathfrak{m}B$ がCM環。

この証明は平坦射の性質を使うためここでは証明は述べない。証明(特に(2)の方)には平坦性の局所的判定法を用いる。
これから直ちに、 $A$ がCM環なら $A\lbrack X\rbrack , A\lbrack\lbrack X\rbrack\rbrack$ もCM環となることがわかる。
これと系6を組み合わせて、CM環はuniversally catenaryであるとわかる。
つまりCM環上有限型なら鎖状環である。

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CM環には他にも重要な事実がいくつかあり、とくに平坦性との関わりで重要なものが多い（最後の平坦射のfiber環についてなど）それらも含めて、ここで示したことと示してないことを以下にまとめておく：

【CM環の性質】
(1) CM局所環はdepthとdimが等しい（定義）
(2) CM環は埋込点を持たない。
(3) CM局所環では、パラメタ系の一部分をなす元の列⇔正則列。
(4) CM環⇔純性定理を満たす。
(5) CM環はuniversally catenary。（純性定理を用いて $A$ がCM環のときに $A\lbrack X\rbrack$ がCM環であることが示せるので、これからわかる）
(6) $A\to B$ がNoether局所環の平坦射なら、 $B$ がCM環⇔ $A$ と $B/\mathfrak{m}B$ がともにCM環。
(7) Noether局所環 $A$ がCM環⇔パラメタ系で生成されるあるイデアル $\mathfrak{q}$ があって $l(A/\mathfrak{q})=e_0(\mathfrak{q})$ 。ここで $l$ は加群の長さで $e_0$ は重複度。（ $\textrm{Gr}_\mathfrak{q}(A)$ が $A/\mathfrak{q}$ 上の多項式環となることを使う(示す)。）
(8) $A$ がCM環なら $A\lbrack X\rbrack ,A\lbrack\lbrack X\rbrack\rbrack$ もCM環。（ $A$ が局所環なら $A\lbrack\lbrack X\rbrack\rbrack$ がCM環になるのは簡単だが、そうでない場合は(6)を使う。）
(9) $A$ が正則局所環で $f:A\to B$ が有限射とすると、 $f$ が平坦⇔ $B$ がCM環。（ $B$ は局所環とは仮定しない。Auslander-Buchsbaumの等式や次の(10)から出る。）
(10) （Miracle Fratness） $A$ が正則局所環、 $B$ がCM局所環、 $f:A\to B$ が局所準同型で $\textrm{dim}(B)=\textrm{dim}(A)+\textrm{dim}(B/\mathfrak{m}B)$ が成り立つとき、 $f$ は平坦射。（平坦性の局所的判定法と正則列の性質から容易に従う。）
(11) $A$ が体上有限型のとき、局所化がCM局所環となる素イデアルの集合は $\textrm{Spec}(A)$ の空でない稠密開集合をなす。（Noether正規化で $k\lbrack x_1,\cdots,x_r\rbrack$ 上有限にすると(8)よりCM lociが包含射 $k\lbrack x_1,\cdots,x_r\rbrack\subset A$ のflat lociと一致する。この場合はよく知られている。）

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