Čech完備の話
ツイッターで話題になっていたので、定義や簡単な性質や面白い話題(完備距離化可能性)などをまとめようと思います。
これから考える空間はすべて完全正則ハウスドルフです。
※あとで前提知識のところを補う記事を書きます。
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《前提知識》
(1)完全正則空間からコンパクトハウスドルフ空間への任意の連続写像がStone-Čechコンパクト化上の連続写像に一意に拡張されます。また、任意のコンパクト化に対し、の点を動かさない連続写像があります。この写像を射影と言います。が射影のとき、となることが知られています。Stone-Čechコンパクト化についてはこちらが参考になると思います→
(2)距離空間は全体正規です。これに関してはこちらの記事のpdfに書いてあります→パラコンパクト
(3)Alexandroff-Uryshonの距離化定理を軽く使います。正規列を成す展開列を持つ空間は距離化可能というものです。位相空間の正規列とは、開被覆の列であって、各について星形集合(ただし、)がを細分するようなものです。展開列とは、開被覆の列であってが各の基本近傍系を成すものです。意識さんのブログのこの記事が参考になると思います→距離化可能定理part1:Alexandroff-Urysohn-Tukey
(4)正規列に対して、その正規列をある意味測るような擬距離が定義されます。詳しく述べると次のようになります:空間の正規列に対し、上の擬距離であって、となるものがある。ここではこの擬距離での開球。これに関してはこちらが参考になると思います→一様空間1 - yujitomoのブログ
(5)集合の有限交叉性を持つ空でない部分集合の族ををフィルターベースと言い、フィルターベースがさらにとを満たすときにフィルターと言います。フィルター全体には包含関係で順序が入り、Zornの補題から極大フィルターの存在を知ります。また、フィルターベースは自然に極大フィルターを生成します。極大フィルターは任意の部分集合についてかの補集合の一方を含みます。
例えば位相空間である点の近傍系などはフィルターです(近傍フィルターと言います)。位相空間のフィルターがある点の近傍系を部分集合に含むとき、フィルターはに収束すると言います。容易に分かることですが、コンパクト空間であることと任意の極大フィルターが収束することは同値です。
の点をフィルターの触点と言い、これが空でないときにフィルターは触点を持つと言います。容易にわかることですが、ハウスドルフ空間の近傍フィルターの触点は一点集合からなります。
これだけの前提知識を仮定しておけば一応読めると思います。一様空間の完備性に関してコーシーフィルターの話がありますが、今回はその知識は必要ないでしょう。フィルターは結構使います。
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【定義1】
・完全正則空間について、がStone-Čechコンパクト化の中でGδ集合となるとき、Čech完備(Čech-Complete)であると言う。
・完全正則空間は、任意の拡張空間(を稠密部分集合として含む空間)の中でGδ集合であるとき、絶対Gδ(absolute Gδ)であると言う。■
例えば、これは手頃な演習問題ですが、局所コンパクトであれば任意の拡張空間の中で開なので絶対GδでありČech完備となります。
次の命題は、これからの話の中で中心的役割を果たす命題です:
【命題1】
完全正則空間について、次はすべて同値:
(1)はČech完備。
(2)はあるコンパクト化の中でGδ。
(3)は任意のコンパクト化の中でGδ。
(4)は絶対Gδ。
(5)次を満たす開被覆の列がある:となるフィルターは触点を持つ。
(証明)
(4)⇒(3)、(3)⇒(2)は自明。(2)⇒(1) は、あるコンパクト化でGδであるとき、射影で引き戻すことを考えればでもGδとなることがわかるのでほぼ自明。
(1)⇒(5)
はでGδなので、の可算個の開集合があってと書ける。
各点に対してとなるをとり、と置く。このが条件を満たすことを言えば良い。
を(5)の条件を満たすフィルターとすると、有限交叉性からが取れる(はコンパクト)。ここでは(5)の条件を満たすから、任意のに対してあるがあってとなるが、であるから、がわかる。従って、つまりはの触点となる。
(5)⇒(4)
をの拡張空間とする。(5)の条件を満たす開被覆の列をとり、各に対しての開集合をとなるようとる。の開集合の列をで定める。
を示せば良いから、をとる。の近傍フィルターをとすれば、は(5)の条件を満たすので触点がある。ここでであるからは近傍フィルターのでの触点となるが、先に述べた通りハウスドルフ空間の近傍フィルターの触点は一点に限るからとなる。これはに反する。□
この命題の(1)⇔(5)と前提知識(3)を合わせて使うことで、完備距離化可能性などの興味深い性質を導くことができます。
Čech完備空間の基本的な性質については次が知られています:
【命題2】
(1)Čech完備空間の閉集合はまたČech完備。
(2)Čech完備空間のGδ集合はまたČech完備。特に開集合はČech完備。
(3)Čech完備空間可算個の積空間はまたČech完備。
(証明)
(1)と(2)は同時に示せる。をČech完備空間の閉またはGδ集合とする。命題1(1)⇔(2)から、でがGδとなることを示せば良い。はČech完備であるから、の可算個の開集合でとなる。
が閉なら、なのでとなる。
がGδならなるの開集合をとってとなるの開集合をとれば、となる。
以上より閉、Gδのどちらの場合でもでGδとなることが示された。
(3)は容易。をČech完備空間の可算族とすれば、はでGδなので命題1(1)⇔(2)により示された。◻︎
さて、次は今回のメインテーマであるところの、完備性です。
【完備距離化可能性】
距離空間について、次は同値:
(1)は完備距離化可能。つまりにはもとの距離以外に、位相の合致する完備な距離が存在する。
(2)はČech完備。
(3)はそれを含む任意の距離空間でGδ。
(証明)
(1)⇒(2)は命題1(1)⇔(5)を使う。を完備な距離としてが完備性から命題(5)の条件を満たすことを見る。を命題(5)の条件を満たすフィルターとすれば、各についてあるがあってとなるがこのときはコーシー列となって極限点はこのフィルターの触点である。以上で示された。
(2)⇒(3)は命題1(1)⇔(4)から明らか。(3)⇒(2)を示すためにの完備化をとれば、この定理の(1)⇒(2)よりはČech完備なので命題2(2)からもČech完備となる。従ってあとは(2)⇒(1)が示せれば良い。
(2)⇒(1)。
まず命題1(5)の条件を満たす開被覆の列をとる。前提知識(2)から距離空間は全体正規なので、正規列となる展開列によりの形でそれぞれ細分できる。この正規列に対して前提知識(3)を満たす擬距離をとれば、展開列をなすことからこれはの位相に合致する距離となる(前提知識(4)Alexandroff-Urysohnの距離化定理)。これが完備な距離であることを示そう。命題1(5)の条件を使う。
コーシー列を任意にとれば、各に対してあるがあってとなり、このときである。従ってとおけばはフィルターベースであり、これが生成するフィルターはから命題1(5)の条件を満たす。したがって触点を持つがこれは明らかにの収束先である。◻︎
完備距離空間に対してはベールの範疇定理が知られていますが、これは局所コンパクト空間でも成立するものでした。Čech完備空間はある意味で完備距離空間と局所コンパクト空間を包括する概念ですから、Čech完備空間に対して似た定理が成立することが予想されます。これについて述べてこの記事は終わりにします。
【定義】
を位相空間、をその部分集合とする。
・の閉包に内点がないとき、を全疎(nowhere dense)という。つまりのときにを全疎という。
・が全疎集合の可算和となるとき、第1類(first category)集合という。
・第1類でない集合を第2類(second category)という。
・任意の空でない開集合が第2類である空間はベールの性質(Baire property)を持つといわれる。■
【定理4】
Čech完備空間はベールの性質を持つ。
(証明)
Čech完備空間の開部分集合はČech完備であるからČech完備空間それ自身が第2類であることを言えば良い。
全疎な閉集合可算個でとなっていたとする。となるの可算個の開集合をとる。はもし全疎でなければがの内点になるから、は全疎。
従って点が取れる。このときとなる開集合が取れる。
次に、点と空でない開集合がとれていたとき、同様にして点と開集合が取れる。
さて、と置く。は単調減少に構成しているのでこれは有限交叉性を持っては空でない(はコンパクト)。またであるから。一方でであるから。これは仮定に反する。□
【系:ベールの範疇定理】
完備距離空間と局所コンパクト空間はそれぞれベールの性質を持つ。
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なんか思ったより長くなったのですが、可算乗法性についてほとんど触れれなかったのでまた今度やろうと思います。(本当はこれを書こうと思って前提知識のとこに完全写像に関して少し書いていたのですが不必要になってしまったので消したりしました。これでちょっと番号がずれたとこがあるかもしれないです。)
実は擬コンパクト空間もベールの性質を持つことが知られています。
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なんかいろいろあっていろいろありましたが元気です。今日は週に唯一の自主ゼミの日なので、頑張って起きます。では。
【参考文献】
・Vladimir V. Tkachuk , A -theory ploblem book Topological and Function Spaces , Springer(2010)