Arhangel'skiĭの不等式 - yujitomoのブログ

アルハンゲルスキーの不等式です（カタカナで書いておけば検索した時にこのブログがヒットするようになるかなと思って加筆しました）。

Beautiful Inequalityと言われているらしいです。日本語で読める証明って結構探さないとない（ってかあるの？）と思うので書きます。

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【定義】

${X}$ を位相空間とする。

・各 ${x\in X}$ に対して、 ${x}$ の基本近傍系の濃度の最小値を ${x}$ での近傍濃度または指標といい、 ${\chi (x , X)}$ で表す。

・ ${\chi (X) = \min \{ \chi (x, X) : x\in X\} }$ と置き、これを ${X}$ の近傍濃度または指標という。

・次を満たす濃度 ${\mathfrak{m}}$ の最小値と ${\aleph _0}$ の大きい方を ${X}$ のリンデレーフ数と言い、 ${L(X)}$ で表す； ${X}$ の任意の開被覆は濃度 ${\mathfrak{m}}$ の部分被覆を持つ。つまり

　 ${L(X)=\aleph _0 + \min\{ \mathfrak{m} : \mbox{任意の開被覆}\mathcal{U}\mbox{が濃度}\mathfrak{m}\mbox{の部分被覆を持つ} \}}$

【定理：Arhangel'skiĭの不等式】

ハウスドルフ空間 ${X}$ に対し、不等式 ${|X|\leq 2^{\chi (X) L(X)}}$ が成り立つ。ただし ${|X|}$ により ${X}$ の濃度を表す。

（証明）

点 ${x \in X}$ の基本近傍系であって、濃度が ${\chi (X) }$ 以下であるものを ${\mathcal{U}_x}$ と置く。 ${\tau}$ を濃度が ${\chi (X)L(X)}$ より大となる最小の順序数とする。つまり ${ \tau = ( \chi (X)L(X) )^+ }$ 。

証明は二つの部分に分かれる。まずは ${X}$ の閉集合であって濃度が ${2^{\chi (X)L(X)}}$ 以下のものの ${\tau }$ 個の単調増加な族であって、諸々の条件を満たすものを構成する。次にそれらが ${X}$ を被覆することを示して ${X}$ の濃度を評価する。

まずは第一段階。

${X}$ の閉集合の族 ${F_{\beta}, 0 \leq \beta \lt \tau }$ であって、次を満たすものを超限帰納法により構成する；

　(1) ${ 0 \leq \alpha \lt \beta \lt \tau }$ のとき ${F_{\alpha} \subset F_{\beta}}$

　(2) 任意の ${\beta}$ について ${|F_{\beta}| \leq 2^{\chi (X)L(X)}}$

　(3) ${\mathcal{U} \subset \bigcup \{ \mathcal{U}_x : x\in \bigcup_{\alpha \lt \beta }F_{\alpha} \} , |\mathcal{U}| \leq L(X) , X-\bigcup \mathcal{U} \neq \emptyset}$ のとき ${F_{\beta}-\bigcup \mathcal{U} \neq \emptyset }$

まず ${X}$ の点 ${p}$ を適当にとって、 ${F_0 = \{ p \} }$ とする。

${0 \lt \beta \lt \tau }$ について、すべての ${\alpha \lt \beta }$ に対して上の(1),(2),(3)を満たす ${F_{\alpha}}$ が構成されているとする。

　 ${\mathcal{O} = \bigcup \{ \mathcal{U}_x : x\in \bigcup_{\alpha \lt \beta }F_{\alpha} \} }$

　 ${\mathcal{U}' = \{ X-\bigcup\mathcal{U} : \mathcal{U} \subset \mathcal{O} , |\mathcal{U}| \leq L(X) , X-\bigcup\mathcal{U} \neq \emptyset \} }$

と置く。

(2)より ${|\mathcal{O}| \leq 2^{\chi (X)L(X)} }$ であり、よって ${|\mathcal{U}'| \leq |\mathcal{O}|^{L(X)} = 2^{\chi (X)L(X)} }$ となる。

各 ${V \in \mathcal{U}' }$ に対してその元 ${p(V) \in V}$ を選び ${E = \{ p(V) : V \in \mathcal{U}' \} }$ と置けば

　 ${|E| = |\mathcal{U}'| \leq 2^{\chi (X)L(X)} }$

であり、従って

　 ${\left| E \cup \left( \bigcup_{\alpha \lt \beta} F_{\alpha} \right) \right| \leq 2^{\chi (X)L(X)} }$

となる。

${E \cup \left( \bigcup_{\alpha \lt \beta} F_{\alpha} \right) }$ の閉包の点の任意の近傍はまた ${E \cup \left( \bigcup_{\alpha \lt \beta} F_{\alpha} \right) }$ の点の近傍となっていることから、

　 ${\left| \overline{E \cup \left( \bigcup_{\alpha \lt \beta} F_{\alpha} \right) }\right| \leq (2^{\chi (X)L(X)} )^{\chi (X)} = 2^{\chi (X)L(X)} }$

がわかる。そこで ${F_{\beta } = \overline{E \cup \left( \bigcup_{\alpha \lt \beta} F_{\alpha} \right) } }$ と置く。

このとき(1),(2)は明らかに満たされているから、(3)を満たすことを示そう。

${\mathcal{U} \subset \bigcup \{ \mathcal{U}_x : x\in \bigcup_{\alpha \lt \beta }F_{\alpha} \} , |\mathcal{U}| \leq L(X) , X-\bigcup \mathcal{U} \neq \emptyset }$ となるよう ${\mathcal{U}}$ をとる。すると ${X-\bigcup \mathcal{U} \in \mathcal{U}'}$ であるので、

　 ${p( X-\bigcup \mathcal{U} ) \in E \cap ( X-\bigcup \mathcal{U} ) = E-\bigcup \mathcal{U} \neq \emptyset }$

よって ${F_{\beta } - \bigcup \mathcal{U} \neq \emptyset }$ がわかり、(3)が従う。

これにより超限帰納法が進行し、すべての ${0 \leq \beta \lt \tau }$ に対して(1),(2),(3)を満たす閉集合の族 ${F_{\beta }}$ が構成された。

第二段階。 ${X = \bigcup \{ F_{\alpha } : 0 \leq \alpha \lt \tau \} }$ を示す。

${F = \bigcup \{ F_{\alpha } : 0 \leq \alpha \lt \tau \} }$ と置く。まずはこれが閉であることを示そう。そのために ${x \in \overline{F} }$ を任意に取る。 ${\mathcal{U}_x}$ を ${\mathcal{U}_x = \{ U_{\gamma} : \gamma \in \Gamma \} , |\Gamma| \leq \chi (X) }$ と ${\Gamma }$ で添え字付ける。このとき任意の ${\gamma \in \Gamma }$ に対して ${U_{\gamma }\cap F \neq \emptyset}$ であるから、各 ${\gamma \in \Gamma }$ に対して ${U_{\gamma} \cap F_{a(\gamma )} \neq \emptyset }$ となる ${a(\gamma ) \lt \tau }$ が選べる。

${\beta = \sup \{ a(\gamma ) : \gamma \in \Gamma \} \lt \tau }$ と置く（ ${\Gamma \leq \chi (X) \lt (\chi (X)L(X))^+ = \tau }$ 、つまり ${\tau}$ は後続型基数であるから正則基数、従って ${\beta \lt \tau}$ がわかる）。このとき (1) より、任意の ${\gamma \in \Gamma}$ に対して ${U_{\gamma} \cap F_{\beta} \neq \emptyset }$ であるから、すなわち ${ x \in F_{\beta } \subset F }$ となる。よって ${F}$ は閉。

次に ${y\in X-F }$ を任意に取る。各 ${x \in F }$ に対して ${ U(x) \in \mathcal{U}_x}$ を、 ${y \in X-U(x)}$ となるようにとる。このとき ${F}$ は閉であるから ${L(F) = L(X)}$ なので、 ${G\subset F}$ であって次を満たすものがある；

　 ${\mathcal{U} = \{ U(x) : x \in G \} }$ が ${F}$ の被覆であり ${|G| \leq L(X)}$ となる。

${G \subset F = \bigcup \{ F_{\alpha } : 0 \leq \alpha \lt \tau \} }$ と ${|G| \leq L(X)}$ から、ある ${\alpha \lt \tau }$ について ${G \subset F_{\alpha} }$ となる。 ${\beta = \alpha + 1}$ と置こう。

すると

　 ${\mathcal{U} \subset \bigcup \{ \mathcal{U}_x : x \in F_{\alpha} \} = \bigcup \{ \mathcal{U}_x : x \in \bigcup_{\gamma \lt \beta }F_{\gamma } \} }$