族正規でない完全正規空間

児玉永見に載っていた例です。

 

{P}非可算集合とし、{Q}をそのべき集合とする。{Q}上で自然数値(ただし{0}自然数に含めるとする)をとる写像全体を{X}とする。

{ p \in P }に対して、{ x_p:Q \to N , q \mapsto 1 \ ( p \in q ) , q \mapsto 0 \ ( p \not \in q ) }と定め、{X_0=\{ x_p : p\in P \} }と置く。{Q_0}{Q}の全ての有限部分集合の集合とする。

{X}に次で位相を定める;

 ・{x\not\in X_0}の各点はそれ一点が開である。

 ・{x_p\in X_0}{r\in Q_0}{n\in\omega}に対して、

  {V(x_p,r,n)=\{ x_p\}\cup \{ x : x(q)\geq n+1 \ (\forall q \in Q) , 2|(x(q) - x_p(q)) \ (q\in r) \}}

  と定義して、各{r\in Q_0}{n}に対する{V(x_p,r,n)}全体を{x_p}の近傍ベースとする。

  ただし、{2|(x(q) - x_p(q))}{2}で割り切れること、すなわち{x(q) - x_p(q)}が偶数であることを意味する。

{p,p'\in P, r,r'\in Q_0}とする。各{q\in r\cap r'}に対して{x_p(q)=x_{p'}(q)}が成り立つとき、任意の自然数{n,m}に対し{V(x_p,r,n)\cap V(x_{p'},r',m) \neq \emptyset}となる(*1)ことが容易にわかる。

 

{X}が完全正規であることを示す。

{X}{T_1}であることは容易に分かるので、正規であることを言う。{H_1,H_2}を交わらない閉集合とし、{A_i=X_0\cap H_i,i=1,2}と置く。

{A_1=\emptyset}ならば{H_1}は開かつ閉なのでこのときは良い。{A_1,A_2\neq \emptyset}とする。

{q_i=\{ p\in q: x_p\in A_i \},r=\{ q_1,q_2 \}}と置いて、

 {D_i=\bigcup \{ V(x_p,r,1):p\in q_i\} }

とおけば、これらは{A_i}{X}での素な近傍であるので、

 {U_1=H_1\cup (D_1-H_2),U_2=H_2\cup (D_2-H_1)}

とすればこれらが{H_1}の素な近傍となる。

完全正規であることを示すために任意に閉集合{H}をとりGδ集合であることを示す。

{r\in Q_0}を任意に取り、

 {G_n=\bigcup \{ V(x_p,r,n):x_p\in X_0\cap H \} \cup (H-X_0)}

とおけば{H=\bigcap_{n}G_n}となるので、以上より{H}はGδ。

これで完全正規であることがわかった。

 

・族正規でないことを示す。

Δ-システム補題(リンクはWiki)を使う。

{\{ \{ x_p \} : p\in P \} }は疎な閉集合族である。この各点の近傍からなる素な族{\{ V(x_p,r_p,n_p) : p\in P \} }は存在しないことを示そう。任意に{x_p,r_p,n_p}をとり、{P_0\subset P}に対して{\mathcal{V}(P_0)=\{ V(x_p,r_p,n_p) : p\in P_0 \}}とおく。

{P}は非可算であるから、⊿システム補題より{P}の非可算部分集合{P'}であって、次を満たすものがある:

 任意の{a,b\in P',a\neq b}に対し、{ r_a\cap r_b = \bigcap_{p\in P'} r_p}

{r'=\bigcap_{p\in P'}r_p}と置く。{r'\neq \emptyset}のときは(*1)から直ちに{\mathcal{V}(P')}が素でないことがわかる。よって{r'\neq \emptyset}である。

{r'}は有限集合であるから、非可算集合{P''\subset P'}であって、任意の{a,b\in P''}に対して{x_a(q)=x_b(q) \ (\forall q\in r'=a\cap b)}となるものがある。このとき (*1)より

 {V(x_a,r_a,n_a)\cap V(x_b,r_b,n_b)\neq \emptyset ,(\forall a,b \in P'')}

となり、{\mathcal{V}(P'')}は素でない。

以上から{\mathcal{V}(P)}は疎とはなり得ない。従って族正規でないことがわかる。◻︎ 

 

 

 

ところで自分はそんなに極悪非道な人間なのでしょうか。

 

児玉之宏 永見啓応『位相空間論』岩波書店 1974年