Čech完備の話
ツイッターで話題になっていたので、定義や簡単な性質や面白い話題(完備距離化可能性)などをまとめようと思います。
これから考える空間はすべて完全正則ハウスドルフです。
※あとで前提知識のところを補う記事を書きます。
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《前提知識》
(1)完全正則空間からコンパクトハウスドルフ空間への任意の連続写像がStone-Čechコンパクト化上の連続写像に一意に拡張されます。また、任意のコンパクト化に対し、の点を動かさない連続写像があります。この写像を射影と言います。が射影のとき、となることが知られています。Stone-Čechコンパクト化についてはこちらが参考になると思います→
(2)距離空間は全体正規です。これに関してはこちらの記事のpdfに書いてあります→パラコンパクト
(3)Alexandroff-Uryshonの距離化定理を軽く使います。正規列を成す展開列を持つ空間は距離化可能というものです。位相空間の正規列とは、開被覆の列であって、各について星形集合(ただし、)がを細分するようなものです。展開列とは、開被覆の列であってが各の基本近傍系を成すものです。意識さんのブログのこの記事が参考になると思います→距離化可能定理part1:Alexandroff-Urysohn-Tukey
(4)正規列に対して、その正規列をある意味測るような擬距離が定義されます。詳しく述べると次のようになります:空間の正規列に対し、上の擬距離であって、となるものがある。ここではこの擬距離での開球。これに関してはこちらが参考になると思います→一様空間1 - yujitomoのブログ
(5)集合の有限交叉性を持つ空でない部分集合の族ををフィルターベースと言い、フィルターベースがさらにとを満たすときにフィルターと言います。フィルター全体には包含関係で順序が入り、Zornの補題から極大フィルターの存在を知ります。また、フィルターベースは自然に極大フィルターを生成します。極大フィルターは任意の部分集合についてかの補集合の一方を含みます。
例えば位相空間である点の近傍系などはフィルターです(近傍フィルターと言います)。位相空間のフィルターがある点の近傍系を部分集合に含むとき、フィルターはに収束すると言います。容易に分かることですが、コンパクト空間であることと任意の極大フィルターが収束することは同値です。
の点をフィルターの触点と言い、これが空でないときにフィルターは触点を持つと言います。容易にわかることですが、ハウスドルフ空間の近傍フィルターの触点は一点集合からなります。
これだけの前提知識を仮定しておけば一応読めると思います。一様空間の完備性に関してコーシーフィルターの話がありますが、今回はその知識は必要ないでしょう。フィルターは結構使います。
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【定義1】
・完全正則空間について、がStone-Čechコンパクト化の中でGδ集合となるとき、Čech完備(Čech-Complete)であると言う。
・完全正則空間は、任意の拡張空間(を稠密部分集合として含む空間)の中でGδ集合であるとき、絶対Gδ(absolute Gδ)であると言う。■
例えば、これは手頃な演習問題ですが、局所コンパクトであれば任意の拡張空間の中で開なので絶対GδでありČech完備となります。
次の命題は、これからの話の中で中心的役割を果たす命題です:
【命題1】
完全正則空間について、次はすべて同値:
(1)はČech完備。
(2)はあるコンパクト化の中でGδ。
(3)は任意のコンパクト化の中でGδ。
(4)は絶対Gδ。
(5)次を満たす開被覆の列がある:となるフィルターは触点を持つ。
(証明)
(4)⇒(3)、(3)⇒(2)は自明。(2)⇒(1) は、あるコンパクト化でGδであるとき、射影で引き戻すことを考えればでもGδとなることがわかるのでほぼ自明。
(1)⇒(5)
はでGδなので、の可算個の開集合があってと書ける。
各点に対してとなるをとり、と置く。このが条件を満たすことを言えば良い。
を(5)の条件を満たすフィルターとすると、有限交叉性からが取れる(はコンパクト)。ここでは(5)の条件を満たすから、任意のに対してあるがあってとなるが、であるから、がわかる。従って、つまりはの触点となる。
(5)⇒(4)
をの拡張空間とする。(5)の条件を満たす開被覆の列をとり、各に対しての開集合をとなるようとる。の開集合の列をで定める。
を示せば良いから、をとる。の近傍フィルターをとすれば、は(5)の条件を満たすので触点がある。ここでであるからは近傍フィルターのでの触点となるが、先に述べた通りハウスドルフ空間の近傍フィルターの触点は一点に限るからとなる。これはに反する。□
この命題の(1)⇔(5)と前提知識(3)を合わせて使うことで、完備距離化可能性などの興味深い性質を導くことができます。
Čech完備空間の基本的な性質については次が知られています:
【命題2】
(1)Čech完備空間の閉集合はまたČech完備。
(2)Čech完備空間のGδ集合はまたČech完備。特に開集合はČech完備。
(3)Čech完備空間可算個の積空間はまたČech完備。
(証明)
(1)と(2)は同時に示せる。をČech完備空間の閉またはGδ集合とする。命題1(1)⇔(2)から、でがGδとなることを示せば良い。はČech完備であるから、の可算個の開集合でとなる。
が閉なら、なのでとなる。
がGδならなるの開集合をとってとなるの開集合をとれば、となる。
以上より閉、Gδのどちらの場合でもでGδとなることが示された。
(3)は容易。をČech完備空間の可算族とすれば、はでGδなので命題1(1)⇔(2)により示された。◻︎
さて、次は今回のメインテーマであるところの、完備性です。
【完備距離化可能性】
距離空間について、次は同値:
(1)は完備距離化可能。つまりにはもとの距離以外に、位相の合致する完備な距離が存在する。
(2)はČech完備。
(3)はそれを含む任意の距離空間でGδ。
(証明)
(1)⇒(2)は命題1(1)⇔(5)を使う。を完備な距離としてが完備性から命題(5)の条件を満たすことを見る。を命題(5)の条件を満たすフィルターとすれば、各についてあるがあってとなるがこのときはコーシー列となって極限点はこのフィルターの触点である。以上で示された。
(2)⇒(3)は命題1(1)⇔(4)から明らか。(3)⇒(2)を示すためにの完備化をとれば、この定理の(1)⇒(2)よりはČech完備なので命題2(2)からもČech完備となる。従ってあとは(2)⇒(1)が示せれば良い。
(2)⇒(1)。
まず命題1(5)の条件を満たす開被覆の列をとる。前提知識(2)から距離空間は全体正規なので、正規列となる展開列によりの形でそれぞれ細分できる。この正規列に対して前提知識(3)を満たす擬距離をとれば、展開列をなすことからこれはの位相に合致する距離となる(前提知識(4)Alexandroff-Urysohnの距離化定理)。これが完備な距離であることを示そう。命題1(5)の条件を使う。
コーシー列を任意にとれば、各に対してあるがあってとなり、このときである。従ってとおけばはフィルターベースであり、これが生成するフィルターはから命題1(5)の条件を満たす。したがって触点を持つがこれは明らかにの収束先である。◻︎
完備距離空間に対してはベールの範疇定理が知られていますが、これは局所コンパクト空間でも成立するものでした。Čech完備空間はある意味で完備距離空間と局所コンパクト空間を包括する概念ですから、Čech完備空間に対して似た定理が成立することが予想されます。これについて述べてこの記事は終わりにします。
【定義】
を位相空間、をその部分集合とする。
・の閉包に内点がないとき、を全疎(nowhere dense)という。つまりのときにを全疎という。
・が全疎集合の可算和となるとき、第1類(first category)集合という。
・第1類でない集合を第2類(second category)という。
・任意の空でない開集合が第2類である空間はベールの性質(Baire property)を持つといわれる。■
【定理4】
Čech完備空間はベールの性質を持つ。
(証明)
Čech完備空間の開部分集合はČech完備であるからČech完備空間それ自身が第2類であることを言えば良い。
全疎な閉集合可算個でとなっていたとする。となるの可算個の開集合をとる。はもし全疎でなければがの内点になるから、は全疎。
従って点が取れる。このときとなる開集合が取れる。
次に、点と空でない開集合がとれていたとき、同様にして点と開集合が取れる。
さて、と置く。は単調減少に構成しているのでこれは有限交叉性を持っては空でない(はコンパクト)。またであるから。一方でであるから。これは仮定に反する。□
【系:ベールの範疇定理】
完備距離空間と局所コンパクト空間はそれぞれベールの性質を持つ。
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なんか思ったより長くなったのですが、可算乗法性についてほとんど触れれなかったのでまた今度やろうと思います。(本当はこれを書こうと思って前提知識のとこに完全写像に関して少し書いていたのですが不必要になってしまったので消したりしました。これでちょっと番号がずれたとこがあるかもしれないです。)
実は擬コンパクト空間もベールの性質を持つことが知られています。
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なんかいろいろあっていろいろありましたが元気です。今日は週に唯一の自主ゼミの日なので、頑張って起きます。では。
【参考文献】
・Vladimir V. Tkachuk , A -theory ploblem book Topological and Function Spaces , Springer(2010)
Arhangel'skiĭの不等式
アルハンゲルスキーの不等式です(カタカナで書いておけば検索した時にこのブログがヒットするようになるかなと思って加筆しました)。
Beautiful Inequalityと言われているらしいです。日本語で読める証明って結構探さないとない(ってかあるの?)と思うので書きます。
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【定義】
を位相空間とする。
・各に対して、の基本近傍系の濃度の最小値をでの近傍濃度または指標といい、で表す。
・と置き、これをの近傍濃度または指標という。
・次を満たす濃度の最小値との大きい方をのリンデレーフ数と言い、で表す;の任意の開被覆は濃度の部分被覆を持つ。つまり
【定理:Arhangel'skiĭの不等式】
ハウスドルフ空間に対し、不等式が成り立つ。ただしによりの濃度を表す。
(証明)
点の基本近傍系であって、濃度が 以下であるものを と置く。を濃度がより大となる最小の順序数とする。つまり。
証明は二つの部分に分かれる。まずはの閉集合であって濃度が以下のものの個の単調増加な族であって、諸々の条件を満たすものを構成する。次にそれらがを被覆することを示しての濃度を評価する。
まずは第一段階。
の閉集合の族であって、次を満たすものを超限帰納法により構成する;
(1) のとき
(2) 任意のについて
(3) のとき
まずの点を適当にとって、とする。
について、すべてのに対して上の(1),(2),(3)を満たすが構成されているとする。
と置く。
(2)よりであり、よってとなる。
各に対してその元を選び と置けば
であり、従って
となる。
の閉包の点の任意の近傍はまたの点の近傍となっていることから、
がわかる。そこでと置く。
このとき(1),(2)は明らかに満たされているから、(3)を満たすことを示そう。
となるようをとる。するとであるので、
よってがわかり、(3)が従う。
これにより超限帰納法が進行し、すべてのに対して(1),(2),(3)を満たす閉集合の族が構成された。
第二段階。を示す。
と置く。まずはこれが閉であることを示そう。そのためにを任意に取る。をとで添え字付ける。このとき任意のに対してであるから、各に対してとなるが選べる。
と置く( 、つまりは後続型基数であるから正則基数、従ってがわかる)。このとき (1) より、任意のに対してであるから、すなわちとなる。よっては閉。
次にを任意に取る。各に対してを、となるようにとる。このときは閉であるからなので、であって次を満たすものがある;
がの被覆でありとなる。
とから、あるについてとなる。と置こう。
すると
となる。
一方、であるからでありこれは (3) に反する。
従ってがわかった。
最後に、以上より
となり、求める不等式を得る。◻︎
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ニコニコ大百科に書いたやつをそのままコピペしたものですが、見やすい版もあったほうがいいと思って。
アフィリエイトとかはうまく機能してるんだろうか?期待してないから別にいいのだけどついで程度で。
【参考文献】
・J.Nagata , Modern General Topology Second revised edition , North-Holland (1985)
Hewitt-Marczewski-Pondiczeryの定理
の証明を書こうと思います。読み方は、ヒューイット=マルツェフスキ=ポンディツェリ。
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【定義】
位相空間に対し、稠密部分集合の濃度の最小値をと書き、の稠密度という。
【定理:Hewitt-Marczewski-Pondiczeryの定理】
を、2点以上を有するハウスドルフ空間とし、各についてであるとする。積空間について、となるための必要十分条件はである。
(証明)
必要性を示す。
から二点をとり、開集合をとなるようにとる。を射影とし、をの稠密部分集合でとする。
各についてを、で定めると、対応は単射であるから、これによりがわかる。
十分性を示す。
はすべて濃度の離散集合、を濃度として、つまりとして示せば十分。はから濃度の離散集合への写像全体に積位相を与えた空間と考える。は二点の離散空間に積位相を与えた空間とし、を濃度の離散空間とする。をの濃度の開基として、によりの素な(どの2つも交わらない)有限個の開集合の族全体の集合を表すとする。である。
一点を固定する。あるに対して、各上で定数であり、のときとなるような写像の集合をと置く。であってであるからである。このがで稠密であることを示せば良い。
を任意に取る。相異なるをとれば、はハウスドルフであってはの開基であるからとなるがある。をと定めるとであるから、
従ってとなってはで稠密。◻︎
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これ可分のときは上のを実数だと思って示すんですよね。そのときはに相当するものを端が有理数の開区間として取ってくるのですが、実数であるということを考慮してこの辺をもう少し簡単にできます。
添え字集合に位相を入れて示すこの手法は面白いですよね。
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昨日ですべての試験が終了したので春休みになります。春休み中は一つだけ自主ゼミをします。
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おなかすいたぽよぽよ
【参考文献】
・J.Nagata , Modern General Topology , Second revised edition , North Holland , 1985
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無理数の集合の完備な距離の例とか
・の完備な距離
とか。
・の完備でない距離
とか。はコーシー列。
・の完備な距離
とか。はコーシー列でない。
・の完備な距離
存在しない。あったとすればベールの範疇定理(リンクはWiki)からは第二類。一方は可算、一点集合は全疎だから即ちは第一類。これは矛盾。
・無理数の集合の完備な距離
を整列してとして、
距離になっていることは明らか。
位相が合致していること。任意にと正の数をとり、となる自然数をとる。は連続ゆえ、あるがあって、
あとはとおけば、。
完備性。この距離でコーシー列なら普通の距離でもコーシー列ゆえでは収束、従って有理数に収束する無理数の点列がこの距離でコーシー列とならないことを示せば良いがこれはほぼ明らか。
が有理数に収束する無理数列とし、なる自然数をとれば、について
だから各に対して大きいをとれば。
族正規でない完全正規空間
児玉永見に載っていた例です。
を非可算集合とし、をそのべき集合とする。上で自然数値(ただしは自然数に含めるとする)をとる写像全体をとする。
に対して、と定め、と置く。をの全ての有限部分集合の集合とする。
に次で位相を定める;
・の各点はそれ一点が開である。
・ととに対して、
と定義して、各とに対する全体をの近傍ベースとする。
ただし、はで割り切れること、すなわちが偶数であることを意味する。
とする。各に対してが成り立つとき、任意の自然数に対しとなる(*1)ことが容易にわかる。
・が完全正規であることを示す。
がであることは容易に分かるので、正規であることを言う。を交わらない閉集合とし、と置く。
ならばは開かつ閉なのでこのときは良い。とする。
と置いて、
とおけば、これらはのでの素な近傍であるので、
とすればこれらがの素な近傍となる。
完全正規であることを示すために任意に閉集合をとりGδ集合であることを示す。
を任意に取り、
とおけばとなるので、以上よりはGδ。
これで完全正規であることがわかった。
・族正規でないことを示す。
は疎な閉集合族である。この各点の近傍からなる素な族は存在しないことを示そう。任意にをとり、に対してとおく。
は非可算であるから、⊿システム補題よりの非可算部分集合であって、次を満たすものがある:
任意のに対し、
と置く。のときは(*1)から直ちにが素でないことがわかる。よってである。
は有限集合であるから、非可算集合であって、任意のに対してとなるものがある。このとき (*1)より
となり、は素でない。
以上からは疎とはなり得ない。従って族正規でないことがわかる。◻︎
パラコンパクト
位相ゼミでパラコンパクトについて少し勉強したので、それに関するまとめを作りました。付録に関しては勉強中だったり書きかけだったりしてアレですが、まあ付録以外はだいたいいけてるはずなので、とりあえず載せときます、はい。
まあ難しいですね、難しい。日本人の名前がたくさん出てきて面白いですね。距離空間がパラコンパクトであることの証明を何も見ずに再現できるように練習します。
児玉之宏 永見啓応『位相空間論』岩波書店 1974年(5600円)