Cohen-Macaulay環の基本性質

 \require{AMScd}

更新が滞ってましたが、人生が本当に本当に忙しかったんです、すみません。
最近はOLになりたいなと思って過ごしています。休日にインスタ映えするパンケーキを追いかけるOLになりたい。バカにしてるわけじゃなくて本心です。

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メモ書き的なことをしたいと思って、好都合なものがブログだったので、また書きます。
タイトル通り、Cohen-Macaulay環(以下、CM環と略す)についてのメモです。

CM環はdepthを用いて定義されるのが普通ですが、depthはExtにより特徴付けられるのでどうしてもCM環の理論は基本的な部分にもホモロジー代数が食い込んでいるように思いがちです。
ですがまあ簡単なことは簡単に理解したいと言う気持ちで考えてると、ホモロジー代数に頼らなくてもかなりの部分がカバーできると思ったので、それを紹介(未来の自分に対しての紹介?)します。
depthとホモロジー代数の関係については後藤渡辺(GW)や松村(M)、Serre(S)のLocal AlgebraやGrothendieck(G)のlocal cohomologyなどに綺麗にまとめてあります。

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まずはじめにdepthや正則列についてこの記事で必要になる事柄をホモロジー代数によらずに示し、そこからCM環の基本性質を述べる。

【定義:depth】 A をNoether環、MA-加群 Iイデアルとする。
 f_1,\cdots ,f_n \in IM-正則列であるとは、任意の  i=1,\cdots ,n に対して  f_i 倍が  M/(f_1,\cdots ,f_{i-1})M に非零因子として作用し、M/(f_1,\cdots, f_n)M\neq 0 となることを言う。
これ以上延長できない M-正則列を、極大と言う。
M-正則列の長さの最大値を MI-depthといい、 \textrm{depth}_A(I,M) で表す。
A がNoether局所環で I がその極大イデアルのとき、たんに \textrm{depth}_A(M) と表して、Mdepthと言う。
この場合は最後の条件 M/(f_1,\cdots, f_n)M\neq 0 は中山の補題から自明になる。 係数環 A が明らかな場合にはたんに \textrm{depth}(M) と書く。□

定義から従う重要なこととして、BA-平坦なら \textrm{depth}_A(A) \leq \textrm{depth}_B(B) となる。
従って特に \textrm{depth}_A(A) \leq \textrm{depth}_{\hat{A}}(\hat{A}) となる。ここで \hat{A}A の完備化。

正則列やdepthの基本性質をこの記事内で用いられるNoether局所環上の有限生成加群の場合に述べよう。

【基本性質1:depth≦次元】
(A,\mathfrak{m}) をNoether局所環、M を有限生成加群とすると、\textrm{depth}(M) \leq \textrm{dim}(M) である。
ただし M の次元とは位相空間 \textrm{Supp}(M) の次元とする。□

f_1\in \mathfrak{m}M に正則に作用すれば \textrm{dim}(M/(f_1)M) = \textrm{dim}(M)-1 なのでdepthによる帰納法が回る。■

【基本性質2:正則列の並び替え】
A がNoether局所環、M が有限生成加群であれば、M-正則列はどんな並び替えを行なっても M-正則列である。□

[証明]
長さ2の正則列についてそれが交換できれば良い。f_1,f_2M-正則列とすれば次の可換図式を得る: \begin{CD} 0 @>>> \ker f_2 @>{f_1}>> \ker f_2 @>>> 0 @. \\ @. @VVV @VVV @VVV @. \\ 0 @>>> M @>{f_1}>> M @>>> M/f_1M @>>> 0 \\ @. @V{f_2}VV @V{f_2}VV @V{f_2}VV @. \\ 0 @>>> M @>{f_1}>> M @>>> M/f_1M @>>> 0 \\ @. @VVV @VVV @. @. \\ 0 @>>> M/f_2M @>{f_1}>> M/f_2M @. \end{CD} 一番上の行の右端は正則列の定義から0であり、ここで中山の補題を使って \ker f_2=0 がわかる。
また蛇の補題から一番下の行の左端が0であり、f_2,f_1 が正則列となることがわかる。■

【基本性質3:極大正則列の長さ】
A をNoether局所環、M を有限生成加群とすれば、極大 M-正則列の長さはどれも一定である。□

[証明]
次元に関する帰納法を用いる。\textrm{dim}(M)=0 なら \textrm{depth}(M)=0 なので良い。
一つの元 f が極大 M-正則列とすると、\mathfrak{m}\in\textrm{Ass}(M/fM) なのである m\in M があって \mathfrak{m}=\textrm{Ann}(m+fM) となる。
するとどんな M-正則元 g に対しても gm\in fM であるから n\in M により gm=fn と書ける。
このとき a\in\mathfrak{m}=\textrm{Ann}(m+fM) を取れば am=fm' と書けて fan=agm=fgm' となりfM-正則なので an=gm'\in gM、つまり a\in\textrm{Ann}(n+gM) となるので、\mathfrak{m}\in\textrm{Ass}(M) である。
以上で長さ1の極大 M-正則列があればどんな極大 M-正則列も長さ1だとわかった。

一般の場合を示す。f_1,\cdots,f_rg_1,\cdots,g_s を極大 M-正則列とする。
このとき \mathfrak{m}\not\in\textrm{Ass}(M/(f_1,\cdots,f_{r-1})M) , \mathfrak{m}\not\in\textrm{Ass}(M/(g_1,\cdots,g_{s-1})M) であるから、M/(f_1,\cdots,f_{r-1})M,M/(g_1,\cdots,g_{s-1})M のどちらにも正則に作用する h\in\mathfrak{m} が取れて、長さ1の場合を適用することで (f_1,\cdots,f_{r-1},h),(g_1,\cdots,g_{s-1},h はどちらも極大 M-正則列となる。
並び替えをして (f_1,\cdots,f_{r-1}),(g_1,\cdots,g_{s-1}) はどちらも極大 M/hM-正則列となって次元に関する帰納法r=s がわかる。■

これはExt群によるdepthの特徴付けを用いた方がスッキリした理解が得られる。 一般にNoether環 Aイデアル I と有限生成加群 M に対して、\textrm{Ext}^i_A(A/I,M) が i < n で0となることと I から長さnの M-正則列が取り出せることは同値となる。これから上は従う。

【基本性質4:正則列による剰余】
A をNoether局所環、M を有限生成加群f_1,\cdots,f_rM-正則列とする。
このとき f_1,\cdots,f_r は長さ \textrm{depth}(M)M-正則列に延長でき、従って \textrm{depth}(M/(f_1,\cdots,f_r)M)=\textrm{depth}(M)-r である。□

これは基本性質3から直ちに導かれる。

より詳しいことを調べるには、基本性質1よりも精密な不等式を得る必要がある:

【基本性質5:depthと随伴素イデアル
命題1と同じ仮定で任意の \mathfrak{p}\in\textrm{Ass}(M) に対して \textrm{depth}_A(M)\leq\textrm{dim}(A/\mathfrak{p}) となる。□

[証明] f_1,\cdots ,f_r\in\mathfrak{m}M-正則列を任意にとる。 \mathfrak{p}_0\in\textrm{Ass}(M) とするとある m\in M\mathfrak{p}_0=\textrm{Ann}(m) と書ける。 \textrm{Ann}(m)=\textrm{Ann}(fm) なので f で割れるだけ割っても零化イデアルが変わらず、f で割る操作は無限に続くことがない(Krullの共通部分定理)。従って M/(f_1)M\bar{m}\neq 0 として良い。 よって \mathfrak{p}_0\subset\textrm{Ann}(\bar{m})\subset\mathfrak{p}_1\in\textrm{Ass}(M/(f_1)M) となる \mathfrak{p}_1 が取れて、f_1\in\mathfrak{p}_1\setminus\mathfrak{p}_0 である。 繰り返すと、各 if_i\in\mathfrak{p}_i\setminus\mathfrak{p}_{i-1} となる素イデアルの列 \mathfrak{p}_0\subsetneq\cdots\subsetneq\mathfrak{p}_r が取れて証明が終わる。■

[M 系17.2] , [S chap.IV prop 7] , [EGA chap.0 16.4.6.(iii)]を参照。これは[S]や[EGA]などではよくわからない(ちゃんと読んでいない)があまり見通しの良い証明というわけでもなさそうな帰納法で示しているように思える。[M]ではホモロジー代数におけるより一般的な定理の帰結としている。

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CM環について述べる。

【定義:Cohen-Macaulay】
A がNoether局所環のとき、有限生成加群 MCohen-Macaulay加群(CMと略す)であるとは、\textrm{depth}(M)=\textrm{dim}(M) となることを言う。
A がCM A-加群であるとき、Cohen-Macaulay局所環と言う。□

簡単にわかることとして、f_1,\cdots,f_r\in\mathfrak{m}M-正則列であれば、M がCM加群であることと M/(f_1,\cdots,f_r)M がCM加群であることは同値となる。正則列生成なイデアルで割ればその長さ分だけちょうど次元とdepthが下がるからである。
またArtin局所環はCM局所環となる。正則局所環はその極大イデアルが正則列で生成されるのでCM局所環となる。

基本性質5からCM加群は埋込点を持たないことがわかる。つまりCM加群の随伴素イデアルはすべてsupportの極小元である。
この事実はCM加群の本質的な性質であり、これからいろいろ導ける。たとえば次は基本的である:

【命題1】
(A,\mathfrak{m}) をNoether局所環、M をCM A-加群\mathfrak{p} を素イデアルとする。
このとき \textrm{depth}_A(\mathfrak{p},M)=\textrm{dim}(M_\mathfrak{p}) である。
特に M_\mathfrak{p} はCM A_\mathfrak{p}-加群である。□

[証明]
\leq 側は自明なので逆を示す。M_\mathfrak{p}\neq 0 の場合のみ考えれば良いので \mathfrak{p}\in\textrm{Supp}(M) とする。 M-正則列 f_1,\cdots ,f_r\in\mathfrak{p} に対して M/(f_1,\cdots ,f_r)M を考えて \textrm{depth}_A(\mathfrak{p},M)=0として良い。
M はCM加群なので \textrm{Ass}(M) の元はみな \textrm{Supp}(M) の極小元となるが、\textrm{depth}_A(\mathfrak{p},M)=0 より \mathfrak{p}\in\textrm{Ass}(M) であり \textrm{Supp}(M_\mathfrak{p})=\left\{\mathfrak{p}\right\} となって0次元である。
また \textrm{depth}_A(\mathfrak{p},M)=\textrm{depth}_{A_\mathfrak{p}}(M_\mathfrak{p}) なので M_\mathfrak{p} はCM A_\mathfrak{p}-加群となる。■

特にCM局所環の任意の素イデアルによる局所化はCM局所環なので、次の定義が有効である:

【定義:CM環】
Noether環 ACohen-Macaulay環であるとは、任意の素イデアルでの局所化がCM局所環であることを言う。
上の事実から任意の極大イデアルでの局所化がCM局所環であればCM環となり、またCM環の任意の局所化はCM環である。□

CM加群が埋込点を持たないことから他にわかることとして、CM局所環のパラメタ系が正則列をなすという重要な事実がある。
一般のNoether局所環で f_1,\cdots ,f_r が長さrの正則列ならイデアル (f_1,\cdots ,f_r) は高さrで、(f_1,\cdots ,f_r) が高さrのイデアルなら A/(f_1,\cdots ,f_r) の非零因子 f_{r+1} を取ればKrullの標高定理から (f_1,\cdots ,f_{r+1}) は高さr+1であるから f_1,\cdots ,f_r はパラメタ系に延長される。
CM局所環ではこれらが同値になる:

【命題2】
A をCM局所環とすると、f_1,\cdots ,f_r がパラメタ系の一部⇔ f_1,\cdots ,f_rA-正則列。□

[証明]
\Leftarrow側は上で述べたからパラメタ系 f_1,\cdots ,f_rA-正則列であることを示せば良い。
もし f_1 が零因子なら f_1\in\mathfrak{p}\in\textrm{Ass}(A) を取れば、A はCM環で \mathfrak{p} は極小素イデアルだから r=\textrm{dim}(A)=\textrm{dim}(A/\mathfrak{p}) となる。
一方 f_2,\cdots ,f_rA/\mathfrak{p} のパラメタ系であるから \textrm{dim}(A/\mathfrak{p})=r-1となってこれは矛盾。■

これからただちに次がわかる:

【定理3:純性定理】
A をNoether環とする。A がCM環である⇔ A が純性定理を満たす。
ただし A が純性定理を満たすとは、r個の元で生成された高さrのイデアルが埋込点を持たないことを言う。□

[証明]
\Rightarrow はr個の元で生成された高さrのイデアル I に対してその随伴素イデアル \mathfrak{p} で極小でないものを取れば A_\mathfrak{p} のCM性と命題4から矛盾が出る。
\Leftarrow は素イデアル \mathfrak{p} を任意に取って長さ最大の A_\mathfrak{p}-正則列 f_1,\cdots ,f_r\in\mathfrak{p} を取れば \mathfrak{p}イデアル (f_1,\cdots ,f_r) の随伴素イデアルなので純性定理より (f_1,\cdots ,f_r) の極小素イデアルとなり \textrm{dim}(A_\mathfrak{p})=r がわかる。■

【系4】
A をCM環の準同型像とすると、A は鎖状環である。
つまり任意の二つの素イデアル \mathfrak{p}\subset \mathfrak{p}' に対して、長さが最大の素イデアル\mathfrak{p}=\mathfrak{p}_0\subset\cdots\subset\mathfrak{p}_r=\mathfrak{p}' は全て同じ長さとなる。□

[証明]
A はCM環としてよく、さらに局所化を考えて A は局所環で \mathfrak{p}' は極大イデアルとして良い。
すると \textrm{ht}(\mathfrak{p})+\textrm{dim}(A/\mathfrak{p})=\textrm{dim}(A) を示せば良いが、\textrm{ht}(\mathfrak{p})=r とすれば A-正則列 f_1,\cdots ,f_r\in\mathfrak{p} が取れて \mathfrak{p}(f_1,\cdots ,f_r) の随伴素イデアルとなる。
また A はCM環なので \mathfrak{p}(f_1,\cdots,f_r) の極小素イデアルである。
ここで A/(f_1,\cdots ,f_r) はCM局所環なので \textrm{dim}(A/\mathfrak{p})=\textrm{dim}(A/(f_1,\cdots ,f_r))=\textrm{dim}(A)-r となる。■

この他に大切なこととしては、完備化との比較がある。

【命題5】
A をNoether局所環とすると \textrm{depth}(A)=\textrm{depth}(\hat{A}) である。 とくに A がCM環 ⇔ \hat{A} がCM環。□

[証明]
\hat{A} は平坦 A-代数なので \leq 側はわかる。
f_1,\cdots ,f_r を長さ最大の A-正則列として A/(f_1,\cdots ,f_r) を考えることで \textrm{depth}(A)=0 のときに \textrm{depth}(\hat{A})=0 を示せば良い。
\textrm{depth}(A)=0 なので \mathfrak{m}\in\textrm{Ass}(A) であり、A/\mathfrak{m}=\hat{A}/\hat{\mathfrak{m}}\subset A\subset\hat{A} の包含射で1の像を a とすれば \textrm{Ann}_{\hat{A}}(a)=\hat{\mathfrak{m}} となるから \hat{\mathfrak{m}}\in\textrm{Ass}(\hat{A})\textrm{depth}(\hat{A})=0 である。■

depthのExtによる特徴づけを用いてもできる。 より一般に平坦射のfiber環の次元やdepthに関する以下の等式が成り立ち、上の命題はその系である。

【fiber環の次元やdepth】 (A,\mathfrak{m}),(B,\mathfrak{n}) をNoether局所環、f:A\to B を平坦な局所準同型とすると、
(1) \textrm{dim}(A)+\textrm{dim}(B/\mathfrak{m}B)=\textrm{dim}(B)
(2) \textrm{depth}(A)+\textrm{depth}(B/\mathfrak{m}B)=\textrm{depth}(B)
が成り立つ。 とくに、B がCM環⇔ AB/\mathfrak{m}B がCM環。

この証明は平坦射の性質を使うためここでは証明は述べない。証明(特に(2)の方)には平坦性の局所的判定法を用いる。
これから直ちに、A がCM環なら A\lbrack X\rbrack , A\lbrack\lbrack X\rbrack\rbrack もCM環となることがわかる。
これと系6を組み合わせて、CM環はuniversally catenaryであるとわかる。
つまりCM環上有限型なら鎖状環である。

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CM環には他にも重要な事実がいくつかあり、とくに平坦性との関わりで重要なものが多い(最後の平坦射のfiber環についてなど) それらも含めて、ここで示したことと示してないことを以下にまとめておく:

【CM環の性質】
(1) CM局所環はdepthとdimが等しい(定義)
(2) CM環は埋込点を持たない。
(3) CM局所環では、パラメタ系の一部分をなす元の列⇔正則列。
(4) CM環⇔純性定理を満たす。
(5) CM環はuniversally catenary。(純性定理を用いて A がCM環のときに A\lbrack X\rbrack がCM環であることが示せるので、これからわかる)
(6) A\to B がNoether局所環の平坦射なら、B がCM環⇔ AB/\mathfrak{m}B がともにCM環。
(7) Noether局所環 A がCM環⇔パラメタ系で生成されるあるイデアル \mathfrak{q} があって l(A/\mathfrak{q})=e_0(\mathfrak{q}) 。ここで l加群の長さで e_0 は重複度。( \textrm{Gr}_\mathfrak{q}(A)A/\mathfrak{q} 上の多項式環となることを使う(示す)。)
(8) A がCM環なら A\lbrack X\rbrack ,A\lbrack\lbrack X\rbrack\rbrack もCM環。( A が局所環なら A\lbrack\lbrack X\rbrack\rbrack がCM環になるのは簡単だが、そうでない場合は(6)を使う。)
(9) A が正則局所環で f:A\to B が有限射とすると、f が平坦⇔ B がCM環。( B は局所環とは仮定しない。Auslander-Buchsbaumの等式や次の(10)から出る。)
(10) (Miracle Fratness)A が正則局所環、B がCM局所環、f:A\to B が局所準同型で \textrm{dim}(B)=\textrm{dim}(A)+\textrm{dim}(B/\mathfrak{m}B) が成り立つとき、f は平坦射。(平坦性の局所的判定法と正則列の性質から容易に従う。)
(11) A が体上有限型のとき、局所化がCM局所環となる素イデアルの集合は \textrm{Spec}(A) の空でない稠密開集合をなす。(Noether正規化で k\lbrack x_1,\cdots,x_r\rbrack 上有限にすると(8)よりCM lociが包含射 k\lbrack x_1,\cdots,x_r\rbrack\subset Aflat lociと一致する。この場合はよく知られている。)


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TeXでHugeより文字を大きくする方法

タイトルまんま。
あまり仕組みがよくわかっていないけど、

{\fontsize{500}{0} \selectfont J}

みたいな無謀な大きさにしてみてもHugeくらいのおおきさに丸め込まれてしまう。
これを解決するには、プリアンブルに

\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}

または

\usepackage{fix-cm}

と書けば良い。
上の方がオススメらしい。詳しくは↓↓↓
qiita.com

実験結果を以下に並べておきます。

\documentclass[a4j]{jsarticle}

\usepackage{fix-cm}

\title{\fontsize{500}{0} \selectfont J}

\begin{document}
\maketitle

じゅー
\end{document}

コンパイルすると
f:id:yujitomo:20170605015651p:plain
となりました。

TeXメモ1:ネットに落ちてるパッケージを使う方法

デフォルトでは入っていないqexamというパッケージ
qexam.sty - 試験問題用LaTeX スタイルファイル
を例にして、メモ。Windowsとかだとわからないけど、とりあえずMacの場合は他の人でも同じ感じでやればできると思う。

Macのときは権限が〜とかいうのがあるらしいから、管理者?の?パスワード?をまず設定しておく。
ターミナルで

sudo passwd root

と打ったら、
password:
と出てくるので、ここでいつも起動するときに入力しているパスワードを打てば、
Changing password for root.
New password:
と出るはず。ここで好きにパスワードを設定すれば
Retype new password:
ってでるから同じのを打つ。これでok。なんかTeXとは関係ない部分だし調べれば色々出てくると思う。


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ではqexamを導入する。
まずさっきのリンク先に飛んで、Downloadする。
解凍したら、中身を見てみる。
.styがついているファイルとその説明文(と何らか)が中に入っている。
画像のような感じ。
f:id:yujitomo:20170405050810p:plain
まずこの状態にする。

次にこれをLaTeXに導入するために、まず普段使っているパッケージの.styファイルがどこにあるか確認する。たとえばよく使うはずのamsmathとかを探す。
そのためにはターミナルで

kpsewhich amsmath.sty

と打つ。するとamsmath.styというファイルがどこにあるのか表示してくれる。
自分の場合は

/usr/local/texlive/2016/texmf-dist/tex/latex/amsmath/amsmath.sty

となっていたので、まあとりあえずこの場所をFinderで開く。ターミナルで次のように打つ:

open /usr/local/texlive/2016/texmf-dist/tex/latex/

するとこのlatexというフォルダをFinderで開いてくれる。画像みたいな感じ。
f:id:yujitomo:20170405051452p:plain
確かにamsmathというフォルダーがある。その中にはamsmath.styというものも入っている。

とりあえずqexamを使えるようにするだけなら、このあと次のようにすれば良い:
(1)まずこのlatexというフォルダの中に新しくqexamという空のフォルダを作る。
(2)次にこの空のフォルダの中に、qexam.styを入れる(他にも説明文(ここではqexam_doc.pdf)なども一緒に入れるのが好ましいのかもしれない)。
(3)ターミナルで次のように打つ:

sudo mktexlsr

(4)パスワードを要求されるので、それを入力する。はじめに設定したやつはここで使うためのもの(すでに設定している人はこの記事読む必要ないくらいにはパソコン詳しいはず)

これで使えるようになるはず。使うときはpdf作るときにプリアンブルに

\usepackage{qexam}

を入れるだけ。

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mktexlsrが何をしているのかは少しだけ調べてわかったこととして、「mktexlsrは、ダウンロードした.styファイルをLaTeXが見つけられるようにする」ためにあると思われる(ls-Rというファイルを更新しているらしい)。
ダウンロードしたすぐの段階でmktexlsrをやっても上手くいかないし、ダウンロードしたファイルをどこかに移動しないといけないのは自明なんだけど、どこに移せば良いのか全然わからなかった。
とりあえず他の.styファイルが置いてある場所に突っ込んでおけばいいだろって思ってそうしてみたらその通りになったが、mktexlsrがどういう操作なのか正確にはわからない。
正直、デフォルトで入っている.styファイルと後から追加したものとがごっちゃになるのはよろしくない気持ちになるので、別々にしたいのだけど。。。。どうすればいいのかわからない。

実験 beamer3:overlayを飛ばして表示

なんかBeamerで作った発表用pdfとかには、\pauseとかでoverlay(アニメーション)みたいなことしてると、その数に応じてpdfのページが作られる。
これは発表前にレジュメ用とか確認用とかでpdfを印刷する際にもそのまま印刷されてしまって紙がもったいない。
そこである程度完成したスライドを印刷する際にoverlayを全部とばして全部見えてる状態のフレームだけをpdfに表示させる方法があって、一番最初の\documentclass[なんちゃら]{beamer}の「なんちゃら」の部分に「handout」をつけれよい。
具体的には、

\documentclass[dvipdfmx]{beamer}

色々

\begin{document}

本文

\end{document}

だったら、ここで

\documentclass[dvipdfmx,handout]{beamer}

色々

\begin{document}

本文

\end{document}

とすれば良い。



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それだけ。

実験 beamer2:Overlay

なんかメモ。

少しやってみる。

\documentclass[dvipdfmx]{beamer}

\usetheme{Madrid}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}

\begin{document}

\begin{frame}
ほげほげ
\end{frame}

\end{document}

って書けば、こんな感じで
f:id:yujitomo:20170312190438p:plain
新しいページができて、

\documentclass[dvipdfmx]{beamer}

\usetheme{Madrid}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}

\begin{document}

\begin{frame}\frametitle{あいうえお}
ほげほげ
\end{frame}

\end{document}

って書けば
f:id:yujitomo:20170312190532p:plain
そのページの上の方にタイトル(ここでは「あいうえお」)ができるのだけど、
そのページの中で\pauseとか\onslideとか入れれば次のようなことができる:

\documentclass[dvipdfmx]{beamer}

\usetheme{Madrid}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}

\begin{document}

\begin{frame}\frametitle{あいうえお}
ここははじめに表示される
\pause

2つ目に表示される
\pause

3つ目に表示される
\end{frame}

\end{document}

と打てば
f:id:yujitomo:20170312190819p:plain
となる。
また、

\documentclass[dvipdfmx]{beamer}

\usetheme{Madrid}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}

\begin{document}

\begin{frame}\frametitle{あいうえお}
\onslide<2,4>
2、4つ目にのみ表示される
\onslide

ずっと表示される
\onslide<2-3>

2〜3つ目にのみ表示される
\onslide<4>

4つ目にのみ表示される
\end{frame}

\end{document}

と打てば
f:id:yujitomo:20170312191228p:plain
となる。
結構すごい。

これはPowerPointでいうアニメーションみたいな機能(まあ僕知らないんだけどね、こう、文字がパッと現れるやつみたいな)で、BeamerではOverlayっていうらしい。
参照↓↓
Beamer — Tasuku Soma's webpage

ところで、このとき表示されていない部分をうっすらと表示させることができて、そのためにはプリアンブルに\setbeamercovered{transparent}と打てば良い:

\documentclass[dvipdfmx]{beamer}

\usetheme{Madrid}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
\setbeamercovered{transparent}
\begin{document}

\begin{frame}\frametitle{あいうえお}
ここははじめに表示される
\pause

2つ目に表示される
\end{frame}
\end{document}

すると
f:id:yujitomo:20170312191554p:plain
こんな感じで、次に表示したい部分が透明になる。

じゃあ気になるのは、例えば

\begin{enumerate}
 \item<1-> A
 \item<2-> B
 \item<3-> C
\end{enumerate}

で、Aのみが表示されているとき、Cは透明にうっすらと見えていて、Bは真っ白に消えている、みたいな状態にするにはどうしたらいいのだろうか?

そのためには、\invisibleとかいうのを使えば良いらしい。
次のように打ってみると:

\documentclass[dvipdfmx]{beamer}

\usetheme{Madrid}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
\setbeamercovered{transparent}
\begin{document}

\begin{frame}\frametitle{あいうえお}
\begin{enumerate}
 \item<1-> A
 \invisible<1>{\item B}
 \item<3-> C
\end{enumerate}
\end{frame}
\end{document}

こうなる:
f:id:yujitomo:20170312194525p:plain

それだけ。

実験 Beamer1:フッターいじるとか

一つ前に

はてなブログにtexのソースを載せる方法 - yujitomoのブログ

という記事を書いたが、本当に書きたかったのはこっちの記事です。

これもまあメモです。

つまり自分用なので適当に書きます。間違いがあれば指摘していただけるとありがたいです。

 

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なんか個人的にこれからBeamerを使うことがそこそこあるかもしれないと思ったから、忘れたとき用にいろいろメモしておく。

 

まず最も簡単と思われる形で、

\documentclass[dvipdfmx]{beamer}

\usetheme{Madrid}

\begin{document}

あいうえお

\end{document}

 こう書けばとりあえず何らかが出来上がって、こうなる:

f:id:yujitomo:20170312162134p:plain

下の方の青い部分には勝手に日付が入るようになっているのかな?

その横には0/0と出ている。「今のページ番号/総ページ数」と思われるが、どうして0/0なのだろう?

タイトルをつけるためには、

\documentclass[dvipdfmx]{beamer}

\usetheme{Madrid}

\title[短いタイトル]{タイトル}
\author[じゅー1]{じゅー2}
\institute[地球]{日本}
\date{\today}

\begin{document}

あいうえお

\end{document}

と書いてみる。すると下の方の青い部分(フッターって言うやつ??) に名前とか所属とかでてる

f:id:yujitomo:20170312164958p:plain

とりあえずこんな感じ。

instituteに日本とか書くのなんか変だけど、とりあえずまあ日本人なので。

\title{}にはタイトル名を、

\author{}には著者名を、

\institute[]{}には所属名を入れます。

\date{}をつければ日付が出ます。

ここで「日本」とか「タイトル」とか「じゅー2」はどこ行ったの?ってなるけど、これはちゃんとこのスライドにタイトルをつければ表示される。

次のように書いてみる。

\documentclass[dvipdfmx]{beamer}

\usetheme{Madrid}

\title[短いタイトル]{タイトル}
\author[じゅー1]{じゅー2}
\institute[地球]{日本}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}[plain]\frametitle{}
\titlepage
\end{frame}

あいうえお

\end{document}

すると、こんな感じでタイトルのページ(表紙)ができる。

f:id:yujitomo:20170312164508p:plain

これを見れば大体わかると思うが、

・{}で囲んだ部分はタイトルのページに表示するやつ

・[]で囲んだ部分は他のページのフッターに簡易的に表示するやつ

って感じになってると思われる。

また、右下のページ数と思われる数字が1/1になっている(これはよく知られているように、2回コンパイルしないとなぜか前のコンパイルのときのページ数がそのまま出てくるので、ずれます)。

 

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

 

 

ところで、フッターの少し上にうっすらとよくわからない記号たちが見えている。

f:id:yujitomo:20170312165407p:plain

こいつら。

これは「ナビゲーションシンボル」と言われるもので、よくわからないけどdviとかなんとか書いてるときには使えないらしい。

参照↓↓

Beamer は dvipdfmx をサポートするか否か? (1) - マクロツイーター

ネットとかでよく見るbeamerを書くときのプリアンブル(\begin{document}の上に書いてあるごちゃごちゃしたやつら)には、これを消すような指示の書かれているものばかりだけど、ここではまだその指示を書いていないので、今の時点では表示されている。

いらないので消そう。そのためには次のように\usetheme{Madrid}の下に次を書き加えれば良い:

\documentclass[dvipdfmx]{beamer}

\usetheme{Madrid}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}

\title[短いタイトル]{タイトル}
\author[じゅー1]{じゅー2}
\institute[地球]{日本}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}[plain]\frametitle{}
\titlepage
\end{frame}

あいうえお

\end{document}

すると消えます:

f:id:yujitomo:20170312170623p:plain

はい消えた。

 

 

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

 

 

何気なく\titlepageを\begin{frame}と\end{frame}で囲っていたが、その意味を観察する。

まずこの\begin{frame}の囲いをはずしてみる。

次のように打ってみる:

\documentclass[dvipdfmx]{beamer}

\usetheme{Madrid}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}

\title[短いタイトル]{タイトル}
\author[じゅー1]{じゅー2}
\institute[地球]{日本}
\date{\today}

\begin{document}

\titlepage

あいうえお

\end{document}

するとこうなる:

f:id:yujitomo:20170312171228p:plain

本文である「あいうえお」がなんか微妙な位置に現れていて、謎。

数字も0/0になっている。

もう少し本文を長くしてみる。

\documentclass[dvipdfmx]{beamer}

\usetheme{Madrid}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}

\title[短いタイトル]{タイトル}
\author[じゅー1]{じゅー2}
\institute[地球]{日本}
\date{\today}

\begin{document}

\titlepage

あいうえお

あいうえお

あいうえお

あいうえお

あいうえお

あいうえお

あいうえお

あいうえお

あいうえお

あいうえお

\end{document}

するとこうなった。

f:id:yujitomo:20170312171454p:plain

なるほど。

しかし数字が0/0のままなのはなんでだろう?

 

\begin{frame}の意味を見るために、とりあえず囲む。次のように書いてみる。

\documentclass[dvipdfmx]{beamer}

\usetheme{Madrid}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}

\title[短いタイトル]{タイトル}
\author[じゅー1]{じゅー2}
\institute[地球]{日本}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
あいうえお
\end{frame}

\begin{frame}
かきくけこ
\end{frame}

\end{document}

すると

f:id:yujitomo:20170312172626p:plain

こんな感じ。数字の分母が3になっている。

フレームの数をあらわしているのだろうか。

titlepageだけ囲いをはずしてみる:

\documentclass[dvipdfmx]{beamer}

\usetheme{Madrid}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}

\title[短いタイトル]{タイトル}
\author[じゅー1]{じゅー2}
\institute[地球]{日本}
\date{\today}

\begin{document}

\titlepage

\begin{frame}
あいうえお
\end{frame}

\end{document}

こうなった:

f:id:yujitomo:20170312173435p:plain

なんかタイトルの位置低くて気持ち悪い。あと数字が1/1になっているのでやっぱりフレームの数っぽい?

とりあえずタイトルは\titlepageを\begin{frame}〜〜\end{frame}で囲めば綺麗になるっぽい。

 

 

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

 

 

フッターをいじろう。

\usetheme{Madrid}

の下らへんに

\setbeamertemplate{footline}{}

と入れてみる。

\documentclass[dvipdfmx]{beamer}

\usetheme{Madrid}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
\setbeamertemplate{footline}[page number]

\title[短いタイトル]{タイトル}
\author[じゅー1]{じゅー2}
\institute[地球]{日本}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
あいうえお
\end{frame}

\end{document}

すると

f:id:yujitomo:20170312174226p:plain

フッターが消える!!

数字も、とにかく下の方に書いてあったものが全部消えている。

これだったら初めのタイトルのとこで[]の中に短いタイトルとか入れる必要ないね。

と思って消して、

\documentclass[dvipdfmx]{beamer}

\usetheme{Madrid}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
\setbeamertemplate{footline}{}

\title{タイトル}
\author{じゅー2}
\institute{日本}
\date{\today}

\begin{document}

\begin{frame}
\titlepage
\end{frame}

\begin{frame}
あいうえお
\end{frame}

\end{document}

コンパイルしてみたら、全く同じものが出来上がったので、フッターを消せばタイトルもスッキリするね。

 

もう少しいじる。

たとえば、青い部分はいらないけど、ページ数とかそういうのはほしい!とか、そういうときには、

\setbeamertemplate{footline}[page number]

と書けばよい:

\documentclass[dvipdfmx]{beamer}

\usetheme{Madrid}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
\setbeamertemplate{footline}[page number]

\title{タイトル}
\author{じゅー2}
\institute{日本}
\date{\today}

\begin{document}
以下同様

すると

f:id:yujitomo:20170312174813p:plain

うっすら表示されているが、なんか小さいのでもっと大きく濃く表示してほしい。

まずは「色を変える」。

\setbeamercolor{ほげほげ}{fg=色,bg=色}

を加えて実験したところ、fgとbgの違いはわからなかったが、とりあえず二つ設定すれば二つの色の合成が出てくるらしいことがわかった。

赤と黄色でやってみた結果だけ載せる。

\usetheme{Madrid}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
\setbeamertemplate{footline}[page number]
\setbeamercolor{footline}{fg=red,bg=yellow}

 このとき

f:id:yujitomo:20170312181415p:plain

 

ちゃんとオレンジ色になっている。

どれだけの色が使えるのかはわからないが、赤、青、黄、黒、白は使えた。緑とかその辺の基本的な色は使えそう。

\setbeamercolor{ほげ}{fg=色,bg=色} の使い方は色はよくわからないが。。。

次にサイズを変更する。

\setbeamerfont{footline}{サイズの設定}

を入れる:

\usetheme{Madrid}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
\setbeamertemplate{footline}[page number]
\setbeamerfont{footline}{size=\normalsize,series=\bfseries}
\setbeamercolor{footline}{fg=red,bg=yellow}

すると

f:id:yujitomo:20170312184115p:plain

ちなみに、[page number]とは別に[frame number]というのがあるが、この違いは次の二つ結果を見ればわかる:

まずは\setbeamertemplate{footline}[page number] で、\titlepageを\begin{frame}で囲まなかった場合。

\documentclass[dvipdfmx]{beamer}

\usetheme{Madrid}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
\setbeamertemplate{footline}[page number]
\setbeamerfont{footline}{size=\normalsize,series=\bfseries}
\setbeamercolor{footline}{fg=red,bg=yellow}

\title{タイトル}
\author{じゅー2}
\institute{日本}
\date{\today}

\begin{document}

\titlepage

\begin{frame}
あいうえお
\end{frame}

\end{document}

このとき、右下の番号の分母はページ数の2等しい。

f:id:yujitomo:20170312184659p:plain

次に\setbeamertemplate{footline}[frame number] に変更してみる。

\documentclass[dvipdfmx]{beamer}

\usetheme{Madrid}
\setbeamertemplate{navigation symbols}{}
\setbeamertemplate{footline}[frame number]
\setbeamerfont{footline}{size=\normalsize,series=\bfseries}
\setbeamercolor{footline}{fg=red,bg=yellow}

\title{タイトル}
\author{じゅー2}
\institute{日本}
\date{\today}

\begin{document}

\titlepage

\begin{frame}
あいうえお
\end{frame}

\end{document}

 結果は、

f:id:yujitomo:20170312184433p:plain

こうなる。

このとき右下の数字の分母はフレーム数の1と等しい。

すべてを\begin{frame}で囲んでページを作るなら、frame numberでもpage numberでも違いはなさそう。

 

 

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

 

 

オレンジ色に意味はないし、黒くしたければ[fg=black,bg=black]ってすれば良い。

フッターを変更してみたかったのだけどよくわからなかった。

 

はてなブログにtexのソースを載せる方法

 

なんかはてなブログに自分用のメモとかでTeXのソースとか載せたくなることあるじゃん?

その方法を調べたから、自分用のメモとして書いておく。

 

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

はじめに注意しておくが、僕ははてな記法をよく知らないので、下書きとかを使う。

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

 

まず、普通の設定だと、本文の部分に何も書いていなければ、「編集 見たまま」のところに v が出ていて、

f:id:yujitomo:20170312152907p:plain

たぶんこんな感じになっている。

この記事は最初から最後まで、この「見たまま」で編集をする。

ソース載せるためには、「編集 見たまま」の右の v を押して、 

f:id:yujitomo:20170312153016p:plain

これを、「はてな記法」にしないといけない。

ある程度記事を書くと(?)、

f:id:yujitomo:20170312154926p:plain

こんな感じで「編集 見たまま」の隣の v が消えるので、「はてな記法」に変更することができなくなる。

これはある程度記事を書いたからなのか、画像を載せたからなのか、よくわからないが、とにかく途中で「はてな記法」に変更できたとしても、書いた内容は消えるようなので、適切に下書き保存をしておく。

(この記事もここで一度下書き保存をする。)

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

さて、ソースコピペ用の新しい記事を作る。

f:id:yujitomo:20170312153606p:plain

この記事ははじめから「はてな記法」で編集する。

載せたいソースを本文に書くわけだが、次の画像のように、

>|tex|

載せたいソース

||<

って感じで書く(このtexの部分を変えることで、いろんな言語のソースを色付けして表示してくれます):

f:id:yujitomo:20170312154254p:plain

プレビューを見てみると、ググったときによく出てくるあの感じになっていて感動!!

f:id:yujitomo:20170312154438p:plain

さて、今度はこのソースをコピーする。

f:id:yujitomo:20170312154543p:plain

さて、この記事に戻ってきて、ここにそのコピーをペーストしてみると:

\documentclass[a4paper]{jsarticle}

\begin{document}

あいうえお

\end{document}

こんな感じになる。スクショをあげておく。

f:id:yujitomo:20170312155852p:plain

f:id:yujitomo:20170312160122p:plain

〜〜〜〜〜〜〜〜〜〜

これでこの記事にtexソースを載せることができた!!!

わーい!!!たーのしー!!!